已知数列的前四项为 7，10，16，22，求后续的四项。

天山草

已知数列的前四项为 7，10，16，22，求后续的四项。据说此题是 1980 年高考数学题之一。
我感觉此题有无穷多个解。举两个例子：
（一）已知 \(a(1)=7，a(2)=10，a(3)=16，a(4)=22\)，则具有递推公式 \(a(n+2)=2a(n)+2\) 的数列能符合前四项要求。
这个数列的通项公式是 \(a(n)=(9*2^\frac{n-1}{2} - 2) Abs[Sin[\frac{nπ}{2}]] + (6*2^\frac{n}{2} - 2) Abs[Cos[\frac{nπ}{2}]]\)。
据递推公式或通项公式可算出该数列的后续四项为 \(a(5)=2×16+2=34，a(6)=2×22+2=46，a(7)=2×34+2=70，a(8)=2×46+2=94\)。

（二）已知 \(a(1)=7，a(2)=10，a(3)=16，a(4)=22\)，则具有通项公式 \(a(n)=1+3×p(n)\) 的数列能符合前四项要求，其中
\(p(n)\) 是第 \(n\) 个质数。据此可算出该数列的后续四项为 \(a(5)=1+3×11=34，a(6)=1+3×13=40，a(7)=1+3×17=52，a(8)=1+3×19=58\)。

上面两个数列前 8 项的计算程序为：

1. Clear["Global`*"];
   
2. a[n_] := (9*2^((n - 1)/2) - 2) Abs[
   
3.     Sin[\[Pi]/2 n]] + (6*2^(n/2) - 2) Abs[Cos[\[Pi]/2 n]];
   
4. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 8}]

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1. Clear["Global`*"];
   
2. a[n_] := 1 + 3 Prime[n];
   
3. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 8}]

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还可以举出哪些例子？

王守恩

A000375——A000376——7, 10, 16, 22, 30, 38, 51, 65, 80, 101, 113, 139, 159, 191, 221, ......

有这么一个游戏。

首先洗 n 张标有 1.....n 的牌。如果顶牌是 m，则颠倒顶 m 牌的顺序。重复直到 1 到达顶部，然后停止。a(n) 是顶牌为 1 之前的最大步数。

..........
113——2001 年 3 月 27 日
139——2001 年 8 月 25 日
159——2010 年10月 12 日
191——2021 年 3 月 24 日
221——2021 年 3 月 24 日

这是目前知道的最大数。

详细资料可查阅——A000375——A000376

Nicolas2050

1980+年高考数学题


https://baijiahao.baidu.com/s?id ... r=spider&for=pc


不要信口开河，什么题都蹭高考，互联网时代了。动动手查询下就知道，不要胡诌破坏自己的信用。

天山草

有这样一个数列  \(a(n) = \frac{1}{12} n^4 - \frac{4}{3} n^3 +\frac{89}{12} n^2 -\frac{67}{6} n + 12\) 也能满足主帖中的题目要求。

1. Clear["Global`*"];
   
2. a[n_] := 1/12 n^4 - 4/3 n^3 + 89/12 n^2 - 67/6 n + 12;
   
3. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 12}]

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此数列前 12 项的值为：

a(1) = 7
a(2) = 10
a(3) = 16
a(4) = 22
a(5) = 27
a(6) = 32
a(7) = 40
a(8) = 56
a(9) = 87
a(10) = 142
a(11) = 232
a(12) = 370

应该有无穷多种数列，都能满足主帖中的题目要求。就是说，只给出数列的前四项，是无法确定这个数列全貌的。

天山草

4# 楼那个通项公式可以这样构造：
\(a(n) = (((\frac{1}{12} (n - 4) - \frac{1}{2}) (n - 3) +\frac{3}{2}) (n - 2) + 3) (n - 1) + 7\)

上式展开后就是 4# 楼那个通项公式。

如果将多项式的次数增加到 6 次，同时赋给后 4 项以新的数值，就可以得到另一个新的符合主帖要求的数列:
\(a(n) = \frac{1}{90}n^6 -\frac{31}{120} n^5 +\frac{22}{9} n^4 -\frac{289}{24}n^3 +\frac{2929}{90} n^2 - \frac{397}{10}n + 24\)
所以说这样的数列是无穷多的。

1. Clear["Global`*"];
   
2. a[n_] := ((((((1/90) (n - 6) - 1/40) (n - 5) + 1/8) (n - 4) - 1/
   
3.             2) (n - 3) + 3/2) (n - 2) + 3) (n - 1) + 7;
   
4. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 8}]

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新数列的前 8 项是：
a(1) = 7
a(2) = 10
a(3) = 16
a(4) = 22
a(5) = 28
a(6) = 34
a(7) = 45
a(8) = 84