Nicomachus 定理

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Nicomachus 定理

原创  噶拉洼  噶拉洼 2025 年 03 月 04 日 云南

Nicomachus（亚里士多德之子）定理，也被称为奇数立方和定理：

任何一个整数 n 的立方都可以表示为 n 个连续奇数的和（如果不是一串连续的奇数，这个奇数组合可能会有多个）。

如：

1^3 = 1

2^3 = 3 + 5

3^3  = 7 + 9 + 11

4^3 = 13 + 15 + 17 + 19

思考：

设连续奇数首项为 a ，则最后一项为：a+2*(n-1) ，有：

n^3 = a + (a+2) + ...+(a+2*(n-1))

n^3 = n*(a+a+2*(n-1))/2

n^3 = n*(a+n-1)

a = n*n-(n-1)

证明：

令：a=n*n-(n-1) ，必为奇数；以其为首项，公差为 2 的等差数列，第 n 项为：

a+2*(n-1)= n*n-(n-1)+2*(n-1)=n*n+(n-1)

该等差数列求和：

n*((n*n-(n-1)) + (n*n+(n-1)))/2

=n*(2*n*n)/2

=n^3

即：n^3=[n*n-(n-1)] + ... + [n*n+(n-1)]

即：n 的立方为 n 个连续奇数之和。

下面以此来证明公式：1^3 + 2^3 +...+ n^3=(1 + 2 +...+ n)^2

n^3 写成连续奇数和时，最后一项为：n*n+(n-1)  ①

(n+1)^3写成连续奇数和时，第一项为：

(n+1)*(n+1)-((n+1)-1)=n*n+(n+1)       ②

比较 ①② 知：两者为相邻的奇数，即 n^3 和 (n+1)^3 写成的连续奇数序列正好尾首相接。

1^3 + 2^3 +...+ n^3

= 1                                                         // 1 项奇数
+ 3 + 5                                                 // 2 项奇数
+ 7 + 9 + 11                                        // 3 项奇数
+ 13 + 15 + 17 + 19                           // 4 项奇数
+ ……
+ [n*n-(n-1)] + ... + [n*n+(n-1)]          //  n 项奇数

=(1 + 2 +...+ n)*{1 + [n*n+(n-1)]} / 2   // 等差数列求和

=(1 + 2 +...+ n)*(n*n+n)/2

=(1 + 2 +...+ n)^2

噶拉洼