一个正方形问题的多种解法

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一个正方形问题的多种解法

原创  yj Mathgrass 2025 年 03 月 11 日 18:08 江苏

问题：正方形 ABCD 中，P 在 AB 上，N 在 AB 延长线上，BE 平分 ∠CBN ，PE⊥DP 交 BE 于点 E ，求证：DP=PE 。



解法 1 ：如图 1 ，在 AD 上截取 AI=AP 。则 ΔAPI 是等腰直角三角形，∠AIP=45°=∠NBE ，所以 ∠DIP=∠PBE=135° 。且DI=AD-AI=AB-AP=PB ，∠IDP=90°-∠APD=∠BPE ，由此可得 ΔDIP≌ΔPBE（ASA），因此 DP=PE 。



解法 2 ：如图 2 ，连接 BD、DE ，则 ∠DBE=90°=∠DPE ，所以 D、P、B、E 四点共圆，所以 ∠DEP=∠DBP=45° ，所以 ∠PDE=45° ，所以 DP=PE 。








比较以上各种解法，解法 3 的辅助线最易想到，但中途受阻，我们放低要求，利用相似，想不到柳暗花明；解法 1、4、5、6、7 都是利用全等，各有千秋，风格相近；解法 2 最为简洁明了，是因为解题工具更为强大（四点共圆），数学解题大体如此：工具越先进，解题过程越简单；解法 8 则利用了解析法，专心计算，可谓别具一格。

苏轼《题西林壁》：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。数学解题，经常如此。

Mathgrass

王守恩

解法9: 1=AD, a=∠ADP, cos(a)=AD,  sin(a)=AP, cos(a)-sin(a)=PB, PE=(cos(a)-sin(a))sin(45)/sin(45-a)=1。