已知 a,b,c 均不为零且互不相等，并满足 a=ab+c ，b=bc+a ，c=ac+b ，求 a+b+c 的值

天山草

已知 \(a、b、c\)  均不为零且互不相等并满足\(a=a b+c，b=b c+a，c=a c+b\)，求\( a+b+c\) 的值。
找出一组满足题目条件的实例。

Ysu2008

三式相加，得
\(a+b+c=ab+c+bc+a+ac+b\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\)

各式两边平方再相加, 得
\(a^2+b^2+c^2=\left( ab+c\right)^2+\left( bc+a\right)^2+\left( ac+b\right)^2=a^2b^2+2abc+c^2+b^2c^2+2abc+a^2+a^2c^2+2abc+b^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=-6abc\)

\(\therefore\left( ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=0\)
\(\Rightarrow2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=6abc\)
\(\Rightarrow\frac{2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{2abc}=\frac{6abc}{2abc}\)
\(\Rightarrow a+b+c=3\)

天山草

天山草

其实，符合此题要求的 \(a、b、c\) 也只有唯一的这一组数，写成具体的数值是：
     2.5320888862379560704047853011108333478716649141608....
     1.3472963553338606977034332535386295920007513543681....
   -0.87938524157181676810821855464946293987241626852893....

luyuanhong

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ataorj

不明白天山草如何转为三角函数的。
a+b+c=3
则根据你的数据，得到2sin(PI/18)=0，非严格解吗？