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最小能量原理

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发表于 2025-3-27 19:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
最小能量原理

原创  NICE  NICE 读书会  2025 年 03 月 06 日 17:31 天津

1、 从最速降问题说起

1696 年 6 月约翰·伯努利以最速降线问题向欧洲数学界发起挑战,在只考虑重力的作用的情况下,不计摩擦力,一质点在竖直面从 A 点沿某条曲线到 B 点,问怎样的曲线能使所走的时间最短?



首先建立坐标系和方程,设水平向右为 x 轴正方向,设竖直向下 y 轴为正方向,设曲线方程为 y=y(x) ,下落过程中,小球重力势能不断转化为动能,于是



以 dx 为变换量,在 dx 变换内小球运行距离



所以小球在轨道上运行一段弧长所需的时间,也就是 ds 的时间为:



于是整个过程所花的时间:



这个问题用传统的方法难以解决,可以类比于最短时间原理(费马定理)来解决:一束光从 A 点传播到 B 点总是沿着尽可能快的路径(唯一一条),从最短距离原理可以导出反射定理,如下图所示,从空气中的 A 点到达水下的 B 点,因为速度不同,要想最短时间到达,需要满足斯涅尔定律。



类似于斯涅尔定律,小球从高处下降时,每段速度均不同,采用类比的思想,可以将高度等分很多段,当段数很大时,这段内的速度可以认为是相等的,则







约翰·伯努利宣称自己已得到问题的解答并将挑战时限定为六个月,但在此期间他没有收到任何回复。应莱布尼茨的要求,挑战时间公开延长了一年半。1697 年 1 月 29 日,当艾萨克·牛顿回到家时,发现约翰·伯努利写给他的一封信,信中以最速降线问题向他发起挑战。牛顿仅用一个晚上就解决了这个问题,并匿名发表在哲学汇刊上。伯努利读到牛顿的答案后,立刻认出了它的作者,并惊呼“从爪印认出了狮子”。





约翰·伯努利和牛顿最终的答案就是摆线,即滚动的轮子边缘上的一点所描述的形状,如上图所示。



2、 变分法和最小能量原理

后来欧拉对这个问题进行了深入分析,并发展出泛函代数这一数学分支,他将函数视为变量,可以将进行微分,将最速降问题抽象成纯数学问题:当积分



取极值时,函数 y(x) 应具有何种形式?

为了与数的变化——微分区别,用希腊字母 δ 表示。y 变化时,泛函 J 也相应改变。改变量为:



采用微分变换公式,容易证明 y(x) 应满足欧拉方程:





容易看出该方程和拉格朗日方程具有相同的形式:



其中 L=T-V ,是体系的动能与势能的差,称为拉格朗日量。

这两个方程是不同的人,在不同的时代,为解决完全不同的问题,而推出的具有完全不同意义的两个方程。但很明显,两个方程具有一模一样的数学形式。这是巧合吗?是的。基于这一巧合,哈密顿提出:既然满足欧拉方程的函数



取极值,那么对应拉格朗日方程,也一定有积分取极值。这个拉氏量在时间上的积分就是哈密顿作用量。上面分析说明:力学体系从时刻 t1 到时刻 t2 ,t 的一切可能在运动之中,只有使哈密顿作用量取极值的运动,才是实际发生的运动。这就是最小能量原理。从最小能量原理可以推出拉格朗日方程,但发现的时间,却是拉式方程在先,哈氏原理在后。



最小能量原理原理在理论力学中非常重要,主要原因和意义如下:

1. 最小能量原理将经典力学的动力学与能动学统一起来,建立了经典力学最基本的变分原理。

2. 根据最小能量原理,系统在允许的所有可能轨迹中,真实轨迹使最小能量动作量 Stationary ,即使其第一变分为零。

3. 最小能量原理不仅可用于定量推导力学方程组,而且包含了经典力学定律的深层物理内涵。

4. 它表明系统的运动平衡状态随时间的变化满足最小功原理,这个原理具有很强的广度。

5. 最小能量原理是量子力学、广义相对论等更高水平理论的基础,也是经典力学的基础框架。

6. 很多微分方程如拉格朗日方程组和哈密顿方程组,都可以直接从最小能量原理推导得到。

总之,最小能量原理从根本上统一了经典力学的能动关系和变分原理,给出力学运动的最小作用路线理论基础,在理论力学中具有极其重要的地位。

3、 最小能量原理和神经网络

今年的诺贝尔物理学奖获得者约翰·霍普菲尔德(John Hopfield)创建了一种联想存储器,可以存储和重建图像以及数据中其他类型的模式。Hopfield 网络可以存储模式并具有重新创建它们的方法。当给网络一个不完整或轻微扭曲的模式时,该方法可以找到最相似的存储模式。



Hopfield 网络旨在为人类的联想记忆功能建一个简单的模型。什么是联想记忆?举个例子,比如说现在让你回忆高中的时候发生过的一些事情,可能会比较困难,但假如让你回到高中的教室,听一些当年的音乐,就可以大大帮助你的回忆。也就是说,你的大脑里实际上存储着大量的长期记忆,但你并不能完全随心所欲地检索你的记忆,尤其是对一些尘封已久的记忆来说,需要一些辅助信息来引导你通过联想找回记忆。



在神经科学中,我们通常认为大脑的状态完全由每一个神经元的 firing rate(放电率,即膜电压每秒超过几次阈值)决定。比如说一个人的大脑有 N 个神经元负责记忆相关,那么每个神经元都有一根代表自己 firing rate 的坐标轴,记忆脑区每一时刻的状态都可以用这 N 维空间中的一个点来表示。

于是,联想记忆功能可以被抽象为下图这般的神经动力学:空间中任何一个点都代表大脑可能的一个状态,每一个吸引子(黑点)编码了一份记忆,同时这些吸引子把整个空间划分成了各自的吸引域,如果大脑状态落进了某个吸引域就相当于是拥有了一些辅助信息,之后会被吸引到相应的吸引子那里,这个吸引的过程就是联想或者说找回记忆(memory retrieval,pattern completion)的过程。



所以,势能函数每一个 local minimum(极小值点)都构成一个吸引子,可以编码一份记忆。而势能函数的具体 landscape 完全由突触性质决定,这对应的科学事实即为:长期记忆存储在突触网络之中。意味着,所谓的回忆起某件事,就是大脑某个脑区回到了当时记忆 /感觉时的状态,而回忆的过程,即是向势能极小值点滑下的过程。

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