ΔPQR 为正三角形，A,B,C 在 PQ,QR,RP 上，AB=5，BC=4，CA=3，求 ΔPQR 面积的最大值

wintex

王守恩

∠BCA=a,  ∠BCR=x,  ΔPQR 面积=(BQ+BR)(AQ+AP)Sin[Pi/3]/2

NMaximize[{(5*Sin[Pi/3 - x + a]/Sin[Pi/3] + 4*Sin[x]/Sin[Pi/3]) (5*Sin[Pi/3 + x - a]/Sin[Pi/3] + 3*Cos[x]/Sin[Pi/3]) Sin[Pi/3]/2, Sin[a] == 3/5, 1 > x > a > 0}, {a, x}]

{26.4338, {a -> 0.643501, x -> 0.747141}}

王守恩

楼上的搞复杂了。 ∠BCR = x,   ΔPQR 面积 = (CP+CR) (CP+CR)*Sin[Pi/3]/2。

NMaximize[{(3*Sin[Pi/6 + x]/Sin[Pi/3]+4*Sin[Pi/3 + x]/Sin[Pi/3])^2*Sin[Pi/3]/2, 1 > x > 0}, {x}]

{26.4337567297406441127287195125, {x -> 0.747138386627669806812283034776}}

{12 + 25/Sqrt[3],{x -> ArcTan[(24 + 7*Sqrt[3])/39]}}

波斯猫猫

思路：条件及符号如图所示，a/cosθ=6/√3，b/sinθ=8/√3，  

∴ √3(a+b)=8sinθ+6cosθ=10sin(θ+β) .

又(x-a)/sinα=(x-b)/sin(2π/3-α)=10/√3   (x为正三角形的边长)，

∴ 2x-a-b=10sin(α+π/6) .

∴  x=5sin(θ+β)/√3+5sin(α+π/6)≤5/√3+5 .

故 Smax=√3(5+5/√3)^2/4=25(3+2√3)/6.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

王守恩

对3楼作点补充。 ∠BCR = x, ∠ACP = pi - x,  ΔPQR 面积 = (CP+CR) (CP+CR)*Sin[Pi/3]/2。

3/Sin[Pi/6 + x] = CP/Sin[Pi/6 + x] => CP = 3*Sin[Pi/6 + x]/Sin[Pi/3],   4/Sin[Pi/6 + x] = CR/Sin[Pi/6 + x] => CR = 4*Sin[Pi/3 + x]/Sin[Pi/3]

ΔPQR 面积 = (3*Sin[Pi/6 + x]/Sin[Pi/3] + 4*Sin[Pi/3 + x]/Sin[Pi/3])^2*Sin[Pi/3]/2 = (((4*Sin[Pi/3] + 3*Sin[Pi/6])*Sin[x]) + (4*Cos[Pi/3] + 3*Cos[Pi/6])*Cos[x])/Sin[Pi/3])^2*Sin[Pi/3]/2

当(4*Sin[Pi/3] + 3*Sin[Pi/6])*Sin[x] = (4*Cos[Pi/3] + 3*Cos[Pi/6])*Cos[x]时，ΔPQR 面积取到最大值。也就是解下面的方程。

1. Solve[{(3*Sin[Pi/6 + x]/Sin[Pi/3] + 4*Sin[Pi/3 + x]/Sin[Pi/3])^2*Sin[Pi/3]/2==S, (4*Sin[Pi/3] + 3*Sin[Pi/6])*Sin[x]==(4*Cos[Pi/3] + 3*Cos[Pi/6])*Cos[x], 1 > x > 0}, {S, x}]

复制代码

{{S -> 12 + 25/Sqrt[3], x -> ArcTan[(24 + 7*Sqrt[3])/39]}}

{26.4337567297406441127287195125, {x -> 0.747138386627669806812283034776}}

王守恩

ΔPQR 为正三角形，A,B,C 在 PQ,QR,RP 上，AB=5，BC=4，CA=3，求 ΔPQR 面积的最大值。

挑战一下！

\(ΔPQR 为正三角形，A,B,C 在 PQ,QR,RP 上，AB=a，BC=b，CA=\sqrt{a^2+b^2}，求 ΔPQR 面积的最大值。\)

王守恩

接楼上。

\(解方程就可以。\frac{a+b\sqrt{3}}{b+a\sqrt{3}}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)},\big(\frac{a*\sin(\pi/6+x)+b*\cos(\pi/6-x)}{\sin(\pi/3)}\big)^2 *\frac{\sin(\pi/3)}{2}=S\)

\(也可以这样。\frac{4(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)^2\cos(x)^2}{\sqrt{3}(a+\sqrt{3}b)^2}=\frac{4(a^2+\sqrt{3}ab+b^2)^2\sin(x)^2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+b)^2} =S\)

ataorj

王守恩26.43正确