A(a,a,a),B(b,b,b) 与 xOy 面上的 C,D 是体积为 72 的正四面体的顶点，a＞b＞0，求 a

wintex

請問數學

波斯猫猫

题：A(a,a,a),B(b,b,b) 与 xOy 面上的 C,D 是体积为 72 的正四面体的顶点，a＞b＞0，求 a.

思路：如图，设正四面体外接正方体的棱长为t，则t^3=216，即t=6.

∴  正四面体的棱长为6√2. ∵ A(a,a,a),B(b,b,b)，∴  3(a-b)^2=72，即a-b=2√6  (1).

又根据对称性，可设C(m，n，0)，D(n，m，0)，∴  2(m-n)^2=72 ，即m-n=6 (2).(m＞n)

又(m-a)^2+(n-a)^2+a^2=72，(m-b)^2+(n-b)^2+b^2=72，

∴ 3a^2-2(m+n)a+m^2+n^2-72=0，3b^2-2(m+n)b+m^2+n^2-72=0，

3(a+b)=2(m+n)  (3) (两根之和等于一次项系数的相反数)

再把上述两式相加，得3(a^2+b^2)-2(m+n)(a+b)+2((m^2+n^2)=144  (4).

由⑴⑵⑶⑷消去m,n,b，解得a=3√6.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。