辐边总和与色组集合公式的理论与应用

朱明君

平面图四色着色方法（最终修正版）
一、基本概念
1. 原图结构
   \(\bullet\)由多个轮型结构通过部分或全部点边叠加组成的复杂平面图
   \(\bullet\)每个轮型结构包含：
     (1) 1个中心节点（如A、B）
     (2) 外围环形连接的节点（\(如v_1→v_2→v_3\to v_1）\)
   \(\bullet\)不同轮型结构之间共享部分外围节点或边\(（如v_3被两个轮型共用）\)

2. 新图构建方法
   \(\bullet\)合并所有轮型结构的中心节点为1个超级中心节点N
   \(\bullet\)保留所有原始辐边（中心到外围的边）
   \(\bullet\)完全保留原始的外围环形连接边

二、转换原理
1.结构等价性
   \(\bullet\)合并操作不改变外围节点的连接关系
   \(\bullet\)超级中心节点N继承了所有原始中心的连接特性
   \(\bullet\)平面图性质在转换过程中保持不变

2.着色等价性
   \(\bullet\)超级中心节点固定使用颜色\(C_1\)
   \(\bullet\)外围节点着色方案可直接映射回原图
   \(\bullet\)确保相邻节点颜色不同的约束条件完全保留

三、实施步骤
1.轮型合并
\(\bullet\)识别所有轮型结构的中心节点
\(\bullet\)创建超级中心节点N
\(\bullet\)将所有辐边重新连接到N

2.着色过程
   (1) 超级中心节点着色：
\(\bullet\)固定使用颜色\(C_1\)
   (2) 外围节点着色：
\(\bullet\)计算每个外围节点的辐边连接数
\(\bullet\)按连接数从多到少排序处理
\(\bullet\)采用色组约束的贪心算法：
\(\bullet\)* 连接数≥2的节点：使用{\(C_2{,}C_3\)}
\(\bullet\)* 连接数=1的节点：使用{\(C_2{,}C_3{,}C_4\)}
\(\bullet\)确保相邻外围节点颜色不同

3.冲突处理
\(\bullet\)当新图分解回原图时出现颜色冲突：
\(\bullet\)将新图分解出的轮型中心节点与环上1个节点颜色交换
\(\bullet\)重新调整受影响区域的着色

四、应用示例
原始图：
\(\bullet\)轮型结构A：中心A，外围\(v_1{,}v_2{,}v_3\)
\(\bullet\)轮型结构B：中心B，外围\(v_3{,}v_4{,}v_5\)
\(\bullet\)转换后新图：
\(\bullet\)超级中心N
\(\bullet\)辐边：N-v\(_{_1}\),N-v\(_2\),N-v\(_3\),N-v\(_4\),N-v\(_5\)
\(\bullet\)外围边：v\(_1\),v\(_2\),v\(_2\),v\(_3\),v\(_3\),v\(_4\),v\(_4\),v\(_5\),v\(_5\),v\(_1\)
1. N着色\(C_1\)
2. \(v_3\)（连接数2）着色\(C_2\)
3. 其他节点交替着色,\(C_3，C_4\)
五、结论
本方法通过以下创新点实现高效着色：
1. 建立原图到新图的结构等价转换
2. 开发基于辐边总和的着色优先级算法
3. 设计色组约束的快速着色策略
4. 采用中心-外围颜色交换解决分解冲突
该方法在保持四色定理要求的前提下，为复杂平面图着色问题提供了系统化的解决方案，具有理论严谨性和实践可行性。