求 x^2+4y^2=4 上一点 P 到 A(1,0) 距离的最大值。求 2x+2y+z=0 与 z=x^2+y^2 的交线

wintex

(1)一定點A(1,0)，P為橢圓x^2+4y^2=4上的點，求AP的最大值。
    若用(x-1)^2+y^2=R與橢圓解聯立並令判別式為0，為何只能解出來最小值？而算不出來最大值？
(2)求平面2x+2y+z=2與曲面z=x^2+y^2的截痕。

Ysu2008

问题(1)
【解】 由椭圆参数方程，不妨设 \(P\left( 2\cos\theta{,}\sin\theta\right)\) ，则过 P 点的椭圆切线方程为

\(\frac{\cos\theta}{2}x+y\sin\theta=1\)
\(\Rightarrow y=-\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\)

以 A 为圆心的圆，若与椭圆相切于 P 点，则椭圆在 P 点的法线必经过圆心 A，即过 P 点的法线斜率 \(\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}\) 等于直线PA的斜率，从而得方程

\(\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta-1}\)

\(\theta=0\) 和 \(\theta=\pi\)是方程的两个解；其中，\(\theta=\pi\) 时，圆和椭圆相切于\(\left( -2{,}0\right)\)，\(PA\)取得最大值 \(\sqrt{\left( -2-1\right)^2+\left( 0-0\right)^2}=3\)


方程还有另外两个解，使得
\(\frac{2\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{2\cos\theta-1}\Rightarrow\begin{cases}
\cos\theta=\frac{2}{3}\\
\sin\theta=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}
\end{cases}\Rightarrow P\left( \frac{4}{3}{,}\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\) ，此时\(PA\)取得最小值 \(\sqrt{\left( \frac{4}{3}-1\right)^2+\left( \pm\frac{\sqrt{5}}{3}-0\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

luyuanhong

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波斯猫猫

一定點A(1,0)，P為橢圓x^2+4y^2=4上的點，求AP的最大值。
（1）显然AP的最大值是3。
（2）硬要算：设x^2+4y^2=4上的點为（2cosθ，sinθ）,
则AP=√[（2cosθ-1）^2+（sinθ）^2]
=√[3（cosθ-2/3）^2+2/3]
∴√6/3 ≤AP≤3.

luyuanhong

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