A=[2,0；a,1]，a＞0，Γ：y=x^2 经过 A 变换后得到 Γ'，求 Γ,Γ' 围成区域的面积

wintex

請問數學

Ysu2008

【解】
矩阵左乘原坐标列向量得到变换后的新坐标列向量
\(\begin{pmatrix}
2&0\\
a&1
\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{2x}{ax+y}=\binom{x'}{y'}\Rightarrow\begin{cases}
x'=2x\\
y'=ax+y
\end{cases}\)

解出原坐标，代入方程\(y=x^2\)，令\(\begin{cases}
x'=x\\
y'=y
\end{cases}\) 得到 \(\Gamma'\) 的方程
\(\begin{cases}
x'=2x\\
y'=ax+y
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x=\frac{x'}{2}\\
y=y'-\frac{ax'}{2}
\end{cases}\Rightarrow y=\frac{x^2}{4}+\frac{ax}{2}\)

联立\(\Gamma{,}\Gamma'\)可得两曲线所围区域\(x\)的区间
\(\begin{cases}
y=x^2\\
y=\frac{x^2}{4}+\frac{ax}{2}
\end{cases}\Rightarrow x^2=\frac{x^2}{4}+\frac{ax}{2}\Rightarrow\begin{cases}
x_1=0\\
x_2=\frac{2a}{3}
\end{cases}\Rightarrow x\in\left[ 0{,}\frac{2a}{3}\right]\)

算出函数\(f\left( x\right)=\frac{x^2}{4}+\frac{ax}{2}-x^2=-\frac{3x^2}{4}+\frac{ax}{2}\)在区间\(\left[ 0{,}\frac{2a}{3}\right]\)内定积分即为两曲线所围区域面积
\(\int_0^{\frac{2a}{3}}\left( -\frac{3x^2}{4}+\frac{ax}{2}\right)dx=\left( \frac{ax^2-x^3}{4}\right)_0^{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{4}\left( a\left( \frac{2a}{3}\right)^2-\left( \frac{2a}{3}\right)^3\right)=\frac{a^3}{27}\)

luyuanhong

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