拉马努金计算圆周率的一个公式收敛速度有多快？

天山草

拉马努金计算圆周率的一个公式：




当 \(k=12\) 时，这公式准确到小数后 105 位。

拉马努金自己并没有证明过这个公式，他声称自己在梦中得到过印度女神 Namagiri 的启示，就是说这公式是女神 Namagiri 告诉他的！人类没有这个能力。我相信神灵确实是存在的！

Future_maths

真是神奇！这个公式现在被证明了吗？

ataorj

大发明家特斯拉也被称为是神人，他的自传中说，（大意）
他小时候困惑于别人谈论事情时，自己的观感会以幻象出现在眼前，，，后来发明时，大脑直接完成试验，20年来无一例外实际和脑中结果一样！不过这也不能完全取代实际试验，仍然有实验室。总之，他信任他脑中能完成的程度。我们一般人神全的时候才略微敢说万无一失，所以才有实践检验真理一说。
有一点，他说，人们以性爱获得一点动力，他以服务人类为动力，总之对性爱看不上。没结婚。

天山草

据说，拉马努金和特斯拉是两个最接近神的地球人。拉马努金是印度人，是一个充满传奇的大数学家。特斯拉是塞尔维亚裔美籍物理学家和发明家。
特斯拉的主要贡献如下：
交流电系统
- 特斯拉发明了交流输电系统，包括交流发电机、变压器和电动机等关键设备。这一系统解决了直流电在长距离传输中能量损耗大的问题，使电能能够高效地传输到远方，为现代电力供应奠定了基础。
特斯拉线圈
- 特斯拉线圈是一种高电压、低电流的共振变压器，能够产生高频交流电。它不仅在无线电通信的早期发展中起到了重要作用，还被用于研究高电压现象、X射线产生等领域，同时也成为了后来许多电子设备和技术的基础。
无线电力传输
- 特斯拉致力于研究无线电力传输技术，他提出了通过大气电离层和地面之间形成的电容来传输电能的设想，并进行了相关实验。虽然最终未能实现大规模的无线电力传输，但他的理论和实验为后世该领域的研究提供了重要的启示。
电动机与发电机设计
- 特斯拉设计了多种类型的电动机和发电机，如感应电动机。这种电动机具有结构简单、运行可靠、效率高等优点，被广泛应用于工业、交通、家电等领域，推动了电气驱动技术的发展。
其他领域贡献
- 在无线电领域，特斯拉也有重要的研究成果，他的一些实验和发明为无线电通信技术的发展提供了借鉴。此外，他在高频电流、荧光照明等方面也有开创性的工作。

       后人为了纪念特斯拉在电磁学方面的贡献，在国际单位制中，将磁场强度的单位命名为特斯拉（T），1 特斯拉等于 \(10^4\) 高斯。在实际应用中，特斯拉常用于描述较强的磁场，如大型电磁铁、核磁共振设备等产生的磁场。高斯（G）是高斯单位制中的磁场强度单位。高斯则常用于描述相对较弱的磁场，如地球磁场（约为0.5到0.6高斯）。

天山草

Future_maths 发表于 2025-4-5 11:01
真是神奇！这个公式现在被证明了吗？

1987年，加拿大的大卫·丘德诺夫斯基（David Chudnovsky）和格雷高里·丘德诺夫斯基（Gregory Chudnovsky）兄弟证明了拉马努金的圆周率公式。他们是基于模形式理论完成证明的。
模形式是数学中一类具有特殊变换性质的函数，在数论、代数几何等领域有广泛应用。拉马努金的圆周率公式与模形式的性质密切相关，通过模形式的理论框架，可以对公式中的各项系数和无穷级数的收敛性等进行深入分析和推导，从而给出严格的数学证明。
      拉马努金给后世留下了两个笔记本，里面记载有近 3900 个公式和命题。目前只有部分公式被后人证明，因公式数量庞大、涉及领域广泛（如数论、无穷级数、特殊函数等），且部分公式极具深度和独特性，给证明工作带来极大挑战，仍有大量公式有待研究。
      拉马努金的公式有没有实际应用？肯定有。最著名的例子是拉马努金有个公式中涉及到天文学的黑洞理论，拉马努金的模拟 θ 函数，在科学家研究时空量子结构时会被用到，而黑洞中的时空扭曲程度极大，模拟 θ 函数在运算黑洞相关问题时有着重要作用，被认为是解密黑洞的关键。2012年，研究黑洞的物理学家发现拉马努金的一个公式能够完美描述出黑洞的性质。另外，拉马努金猜测在输入某些特殊数值时，模塞塔函数表现出越靠近这些特殊数值，函数的值越趋近于无穷大的特性，这些特殊数值代表着“奇点”，与宇宙中黑洞的数学属性相同。

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上面提到，1987年，加拿大的大卫·丘德诺夫斯基（David Chudnovsky）和格雷高里·丘德诺夫斯基（Gregory Chudnovsky）兄弟证明了拉马努金的圆周率公式。
两年以后的 1989 年，他们又完成了拉马努金公式的改良，得到下面这个 Chudnovsky 公式。该公式每多算一项级数，可增加 14 位精度 (拉马努金公式是每多算一项可增加 8 位精度)，它在圆周率计算方面有重要应用，比如1994年兄弟俩利用此公式将圆周率计算到 40 多亿位。如果只计算一项 (k=0)，就比祖冲之算的圆周率多出 5 位精度。计算 15 项，就得到 226 位精度。

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下面是拉马努金病危前写下的一组公式 —— mock theta 函数，这些函数在上个世纪一直是个谜题，直到后来才发现它竟然可以用来计算黑洞的熵。有人就利用这些公式对弦理论领域和黑洞理论领域进行了研究。要知道这些领域在拉马努金活着的时候都还不存在呢。而这些只是拉马努金发现的冰山一角。据统计他一生独立发现了 3900 个公式，其中大部分都已经被证明是正确的。要知道拉马努金可是没有接受过任何正规的数学高等教育，他除了靠自己钻研，还有他自己说的，在睡梦中得到了神的启示。可能是上帝发现了他在泄露宇宙的秘密，所以封了他的号，让他年仅 32 岁就英年早逝了。