\(\huge\star\color{blue}{\textbf{ 孬种 }v=\lim n\textbf{ 的奇偶性}}\)

elim

若'孬种自然数'  \(v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\in\mathbb{N}\) ,则\(v\)非奇即偶．
易见由\((-1)^v=\cos(\pi v)=\cos(\pi\displaystyle\lim_{n\to\infty}n)\)的符
号即得所求奇偶性. 既然孬种称\(v\in\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\),
由\(\cos x\)的连续性,\(\small(-1)^v=\cos(\pi v)=\displaystyle\cos(\pi \lim_{n\to\infty}n)\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos(\pi n)=\lim_{n\to\infty}(-1)^n\)但\(\{(-1)^n\}\)不是
Cauchy序列, 所求极限不存在! \(v\)被确证没有奇偶性！
'孬种自然数'为自然数的谎言破产.

春风晚霞

        根据Weierstrass数列极限的\((\varepsilon—N)\)定义：\(\forall\varepsilon>0，\exists\)\( N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)\(\in\mathbb{N}\)，当n>N时，恒有\(| a_n-a |<\varepsilon\)，\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)中的限制性短语\(\color{red}{\forall\varepsilon>0，\exists N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\in\mathbb{N}}\)知\(\mathbb{N}_{\infty}=\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\ne\phi\)，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!