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已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=1 ,求 |x|+|y|+|z| 的最大值

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发表于 2025-4-6 01:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問數學 103 基隆 國

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发表于 2025-4-6 08:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2025-4-6 08:53 编辑

答案为 D,即|x|+|y|+|z| 的最大值为 13。这是因为,由于xyz 在方程组中的对称性,可设 xyz,此时满足方程的整数解只有两组,一组是 x=y=z=1,另一组是 x=y=4z=5
xyz 取第二组值时  |x|+|y|+|z| 的值为 13,这也就是它的最大值。
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发表于 2025-4-6 23:51 | 显示全部楼层
题:已知整数 x,y,z 满足 x^3+y^3+z^3=x+y+z=3,求 |x|+|y|+|z| 的最大值.

思路:根据对称性,不妨设三个整数x≥y≥z,且z为奇数. 由条件有x+y=3-z,

∴  x^2+y^2-xy=(3-z^3)/(3-z),即xy=-3z+8/(3-z).

∴  z-3=±8,±4,±2,即z=11,-5,7,-1,5,1.

∴  x+y=3-z=-8,且xy=-3z+8/(3-z)=-34.   x+y=3-z=8,且xy=-3z+8/(3-z)=16.
   
    x+y=3-z=-4,且xy=-3z+8/(3-z)=-23.   x+y=3-z=4,且xy=-3z+8/(3-z)=5.
   
   x+y=3-z=-2,且xy=-3z+8/(3-z)=-19.   x+y=3-z=2,且xy=-3z+8/(3-z)=1.

显然,6个方程组只有(2)和(6)有整数解x=y=4,z=-5和x=y=z=1.

∴  max(|x|+|y|+|z|)=13.
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发表于 2025-4-7 00:39 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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