新的椭圆曲线打破了尘封 18 年的纪录

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新的椭圆曲线打破了尘封 18 年的纪录

原创  围城里的猫 MathSpark  2025 年 03 月 31 日  陕西

两位数学家就数学中一些最重要的方程式的根本性质重新展开了讨论。



去年八月，两位数学家发现了一条奇特且打破纪录的椭圆曲线。在此过程中，他们触及了一个关于数学中最古老、最基本方程类型之一的重要未解问题。

椭圆曲线的历史可以追溯到古希腊时代，在许多研究领域中都占据核心地位。它们拥有丰富的结构，数学家们借此发展出强大的技术和理论。1994 年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在证明著名的费马大定理时就利用了椭圆曲线；这在当时被视为数论中最重要的未解难题之一。而在现代密码学中，椭圆曲线同样扮演着关键角色。



然而，数学家至今仍无法回答关于椭圆曲线的一些最基本问题。例如，他们常常尝试通过研究椭圆曲线上的特殊“有理点”来刻画这些曲线。在一条特定的曲线上，这些点形成了清晰而有意义的模式。但目前尚不清楚，这些模式的变化和复杂性是否存在上限。

若能解答这个问题，将有助于数学家理解椭圆曲线的庞大而多样的世界——其中大部分仍未被完全探索。因此，他们不断探索这一世界的边缘，寻找那些拥有越来越奇特模式的“异类”曲线。这是一项艰难的工作，既需要创造力，也需要复杂的计算机程序。

如今，两位数学家——哈佛大学的 Noam Elkies 和位于加州拉荷亚通信研究中心的 Zev Klagsbrun ——发现了一条迄今为止拥有最复杂有理点模式的椭圆曲线，打破了一项尘封 18 年的纪录。“这个障碍是否能被突破，一直是个大问题，”克罗地亚萨格勒布大学的 Andrej Dujella 说，“这对所有从事椭圆曲线研究的人来说，都是一个非常令人兴奋的成果。”

这一发现也让人们重新审视数学家对椭圆曲线的既有认识，引发了新一轮的讨论。

寻找有理点

椭圆曲线看起来并不特别奇特。它们只是形如 y^2=x^3+Ax+B 的方程，其中 A 和 B 是有理数（即可以写成分数的数）。当你将这些方程的解绘制成图像时，它们看起来像这样：



数学家尤其关注椭圆曲线上的有理解——也就是说，其 x 和 y 坐标都是有理数的点。俄亥俄州立大学的 Jennifer Park 表示：“这可以说是人类历史上最古老的数学问题之一。”

虽然对于更简单类型的方程来说，寻找有理解相对比较容易，但布朗大学的 Joseph Silverman 指出，椭圆曲线是“第一类存在大量未解问题的方程。”他说：“它只是一个具有两个变量的三次方程，这已经足够复杂了。”

为了掌握椭圆曲线的有理解，数学家们通常会借助“秩”（rank）这一概念。秩是一个衡量椭圆曲线上的有理点分布密度的数值。秩为 0 的椭圆曲线只包含有限个有理点；而秩为 1 的椭圆曲线则包含无限多个有理点，但它们排布得非常有规律，只要知道其中一个非常特殊的点，就可以通过一套已知的规则找出其余所有点。



更高秩的椭圆曲线同样拥有无限多个有理解，但这些点之间的关系更加复杂。

例如，如果你知道一个秩为 2 的椭圆曲线上的有理解，你可以像处理秩为 1 的情况那样，用相同的步骤找到一整个有理解的族。但这条曲线上还存在另一族有理解。



椭圆曲线的秩（rank）告诉数学家需要多少个“独立”的点——来自不同族的点——来定义其有理解的集合。秩越高，这条曲线所包含的有理点就越丰富。秩为 2 和秩为 3 的曲线都拥有无穷多个有理解，但秩为 3 的曲线多出一个额外的“族”，意味着在同样的一段区间内，平均会包含更多的有理点。

几乎所有的椭圆曲线都是秩为 0 或 1 的。但仍然有无穷多个“异类”曲线具有更高的秩——而这些曲线极难被找到。

因此，数学家并不确定椭圆曲线的秩是否存在上限。曾有一段时间，大多数专家认为在理论上可以构造出任意秩的曲线。但最近的证据却提出了不同的观点。在没有明确证明的情况下，数学家只能继续争论椭圆曲线的真正性质，这也展示了他们对这些方程仍有许多未知尚待探索。

更大的游戏

著名的数论学家 Elkies 并没有打算打破秩的记录。在 2000 年代中期，他正在研究一种看似无关的对象，叫作 K3 曲面。为了理解它们，他将其切割成小块并观察这些部分。



想象从一个简单的曲面开始，比如一个平面。你可以将它切割成无穷多条直线，并排排列。根据你切割的方式，最终得到的这些直线将由不同的方程定义。

类似地，还有更复杂、更弯曲的曲面，当将它们切开时，会产生无穷多条椭圆曲线。自 20 世纪 50 年代以来，数学家们就一直利用这些曲面来寻找更高秩的椭圆曲线。

Elkies 意识到，他研究的 K3 曲面奇特到足以让他接触到更为罕见的曲线。2006 年，他以恰当的方式切割了一个特定的 K3 曲面，在这些切片中发现了一条椭圆曲线，并证明它的秩至少为 28 —— 打破了此前秩为 24 的记录。对于研究椭圆曲线的专家来说，这是一个令人振奋的时刻，他们相信这将引发一波刷新记录的浪潮。

然而，什么都没有发生。Elkies 的纪录保持了将近二十年 —— 这与自 1970 年代以来数学家们不断刷新记录的节奏形成了鲜明对比。

这是否意味着椭圆曲线的秩真的可能存在上限？还是说，这只是反映了寻找高秩曲线这项任务本身的艰难？

当 Elkies 在 2006 年宣布这一发现时，Zev Klagsbrun 还是纽约皇后学院的一名本科生。他的一位教授曾在 1980 年代与 Elkies 一同参加高中数学竞赛 —— 比赛是 Elkies 赢的 —— 在一次答疑时间里，这位教授向他提到了这条刷新纪录的曲线。

Klagsbrun 对此产生了浓厚兴趣。几年后，他回过头来研究这个结果，并证明只要一个广泛被相信的猜想成立，Elkies 的曲线的秩恰好是 28 。因此，当他在 2019 年的一个会议上遇到 Elkies 时，他看到了进一步推动这一结果的机会。尽管他有些紧张——

“跟上他的思路确实很难，”Klagsbrun 说。

——他还是成功说服 Elkies 一起重新开始寻找新的椭圆曲线。

“我跟他说，‘嘿，我有计算资源，也愿意写高效代码。跟我一起搜寻吧！把你的秘诀告诉我！’”Klagsbrun 回忆道。

他们回到了 Elkies 的曲面研究中。18 年前，Elkies 通过一种切割方式，从这个曲面中得到了无穷多个椭圆曲线。这些曲线本身就已经非常奇特了，但他当时只能证明它们的秩至少为 17 。若想打破 24 的记录，他还需要一个“异类”。由于无法直接计算他那一大堆曲线中每一条的秩，他采用了一种著名的计算方法，从数百万条曲线中筛选出那些最有可能具有异常高秩的。接着，他逐一手动计算它们的秩，直到他找到了那个秩为 28 的冠军。

在更大范围的搜索中，他们在 Elkies 那堆旧曲线中发现了许多具有不寻常性质的曲线，但没有一条能够打破他在 2006 年创下的纪录。于是两人决定另辟蹊径。

四年过去了。几个月前，Elkies 和 Klagsbrun 再次在一次会议上相遇，并开始交谈。

这一次，他们尝试以不同的方式切割 K3 曲面，从而得到一组新的椭圆曲线可以研究。但 K3 曲面有上百种切割方式，其中大多数看起来都不太可能产生他们想要的曲线。

结果，他们在一次偶然的尝试中，发现了一种切割方法——就像 Elkies 当年的方式一样——它生成的一堆曲线都可以保证其秩至少为 17 。与其他方法相比，这一方法似乎更有可能隐藏着某条“宝藏”曲线。果然，借助 Klagsbrun 更强大的计算技术，他们在这堆曲线中找到了一个秩至少为 29 的椭圆曲线。

这条椭圆曲线拥有迄今为止最复杂的有理解结构：数学家至少需要找到 29 个线性无关的有理点，才能刻画它的全部特性。

当将这条曲线写成标准形式 y^2=x^3+Ax+B 时，其中的 A 和 B 都是超过 60 位数的超大数字。Elkies 和 Klagsbrun  找到的那个 29 独立有理解所涉及的数值，同样巨大。

是否有上限

这个结果并没有解决关于椭圆曲线的秩是否存在上限的争论。Klagsbrun 表示：

“现在我们已经找到了这样一条高秩曲线，也许这意味着我们确实有理由相信，还存在秩可以任意高的曲线。”他说，“但另一方面，天哪，我们为了找到这一条曲线，付出了多么大的努力。”而且显然，如果想要找到更高秩的例子，数学家们还需要一些全新的想法。

不过，如果他和 Elkies 的努力能够进一步推进，也许能改变目前的局势。他们需要找到一整堆秩至少为 22 的椭圆曲线（而不是目前最多只能保证秩为 17 ）。如果能证明这样一堆曲线存在，将会直接反驳目前支持秩存在上限的最强有力证据。

无论最终结果如何，这条秩为 29 的曲线的发现，已经扩展了这个未被完全探索的数学领域的边界。正如生物学家试图通过研究极端环境中的生命体来理解生命的本质，数学家也可以通过绘制椭圆曲线世界“极限边缘”的地图，从中收获巨大的洞见。



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