是否存在具有實係數的多項式 P(x) 和 Q(x)，使 P(P(x)) · Q(Q(x)) 恰好有 2025 個...

snopy

是否存在具有實係數的多項式 P(x) 和 Q(x)，使 P(P(x)) · Q(Q(x)) 恰好有 2025 個不同的實根，P(Q(x)) · Q(P(x)) 恰好有 2026 個不同的實根?

天山草

若  \(P(x)\) 是 \(m\) 次多项式，\(Q(x)\) 是 \(n\) 次多项式，则 \(P(P(x))\) 是 \(m^2\) 次多项式， \(P(Q(x))\) 是 \(m×n\) 次多项式， \(Q(Q(x))\) 是 \(n^2\) 次多项式， \(Q(P(x))\) 是 \(n×m\) 次多项式。
\(P (P(x))×Q(Q (x))\) 是 \(m^2×n^2\) 次多项式，\(P(Q(x))×Q(P(x))\) 也是 \(m×n×n×m=m^2×n^2\) 次多项式。
既然 \(P (P(x))×Q(Q (x))\) 与 \(P(Q(x))×Q(P(x))\) 的次数相同，就不可能一个有 2025 个不同的实根，另一个有 2026 个不同的实根。
因此不存在满足题目所说的  \(P(x)\) 和 \(Q(x)\)。

Future_maths

楼上的解答是错误的。

cgl_74

问个语文问题：恰好有2025个不同实根，是指有且仅有2025个实根，没有重根以及虚根？还是重根和虚根都可以有？

cgl_74

如果是有且仅有2025个实根。那就很简单。就是2楼的思路，一个实m^2+n^2次多项式=2025，一个是2mn次多项式=2026. 但是显然m^2+n^2>=2mn；结论不成立。