全班 40 人，国文、英文、数学及格分别为 20,16,22 人。求三科都及格人数的取值范围

wintex

請問數學

天山草

全班40人，语文、英文、数学及格人数分别是 20，16，22人。求三科都及格的人数范围。
答案是三科都及格的人数范围是 0 到 16。
上限当然不能大于 16，那么达到 16 有没有可能呢？

设全体学生编号是 1-40。若 1-16 号学生共 16 人三科都及格，17-20 号学生共 4 人只有语文及格，21-26 号学生共 6 人只有数学及格，27-40 号学生三门都不及格。
此情况符合全班语文及格人数为 16+4=20 人，英文及格人数为 16 人，数学及格人数为 16+6 = 22 人，三科都及格为 16 人，因此上限为 16 是可以达到的。

再看下限 0 能否达到 ——  若 40 个学生没有一个人三科都及格： 其中 1-16 号学生共 16 人英文和语文及格，17-20 号学生共 4 人语文和数学及格，21-38 号学生共 18 人只有数学及格，39-40 号学生共 2 人三门都不及格。
此情况符合英文及格人数为 16 人，语文及格人数为 16+4 = 20 人，数学及格人数为 4+18 = 22 人，三科都及格为 0 人，因此下限为 0 是可以达到的。

至于三科都及格的人数是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，只要调整上述方案，都是可以实现的。
例如只有 1 个人三科及格 ——  其中 1 号学生是三科都及格，2-16 号共 15 人英文和语文及格，17-20 号共 4 人语文和数学及格，21-37 号学生共 17 人只有数学及格，38-40 号学生共 3 人三门都不及格。
此情况符合英文及格人数为 1+15 = 16 人，语文及格人数为 1+15+4 = 20 人，数学及格人数为 1+4+17 = 22 人，三科都及格为 1 人，是可以达到的。

luyuanhong

天山草

luyuanhong 发表于 2025-4-9 02:17

如果题目稍改一下，增加一条要求 —— 全班 40 人，国文、英文、数学及格分别为 20,16,22 人，并且全班没有一个人是三科都不及格的。求三科都及格人数的取值范围。

那么一般情况下的问题是不是应该这样提 ——“集合 U 中有 u 个人，其中属于子集 A、B、C 的分别有 a、b、c 个人，并且 u 个人中没有一个人是既不在 A 中，也不在 B 中，也不在 C 中的。若 x  是同时属于 A、B、C 的人数，求 x 的取值范围”。

这个增加了一条要求的问题的公式解是什么？

wintex

50学生，国文、英文、数学及格有45,39,34人，英文及格国文也及格，三科皆及格人數為x,
x範圍為何？

(45+39+34)-50×2=18＜=x

但答案為何是 23＜=x

luyuanhong

wintex 发表于 2025-4-9 11:27
50学生，国文、英文、数学及格有45,39,34人，英文及格国文也及格，三科皆及格人數為x,
x範圍為何？

因为在这题中，增加了一个条件：“英文及格国文也及格”。增加了条件后，原来的公式当然就不适用了。

下面是我过去在《数学中国》发表过的对此题的解答：

luyuanhong

天山草 发表于 2025-4-9 09:07
如果题目稍改一下，增加一条要求 —— 全班 40 人，国文、英文、数学及格分别为 20,16,22 人，并且全班 ...