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发表于 2025-4-12 20:23
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本帖最后由 朱明君 于 2025-4-12 12:26 编辑
1. 二维平面图中的轮构型
在二维平面图中，除了外围节点外，每个节点都是一个轮构型的中心。这些轮构型之间可以共享部分或全部点边，形成复杂的结构。这里的“轮构型”可以理解为以某个节点为中心，与其相邻的节点和边构成的图形，类似于一个“轮子”的形状。
2. 虚拟边与原图、新图
对于没有外围环的二维平面图，我们引入虚拟边来连接节点，形成一个环和辐边的结构。这些虚拟边可以是单条或多条，目的是将原图连接成一个具有外围环的新图。新图中的外围边和辐边与原图中的某个轮构型的断开环边和辐边相对应。通过这种方式，我们将原图中的多个轮构型中心节点合并叠加成一个新图的中心节点。
3. 辐边总和公式与新轮图
利用辐边总和公式，我们可以求出二维平面图中所有轮构型的辐边之和。然后，我们构造一个新的轮图，其辐边数等于这个总和。新图的中心节点是原图所有轮构型中心节点的叠加。这样，我们就将原图中的复杂结构简化为一个中心节点的新轮图。
4. 着色问题
在二维平面图中着色是一个复杂的问题，但当我们将其简化为一个中心节点的轮图时，着色就变得容易了。事实上，只需要4种颜色就足以完成新图的着色。由于原图和新图是等价的（即它们具有相同的拓扑结构，只是表现形式不同），因此新图的着色方案也适用于原图。
5. 色组集合公式
每个轮构型都有自己的色组集合，这些色组集合能够满足所有二维平面图的着色需求。这意味着，无论二维平面图的形状和结构如何复杂，我们都可以通过为每个轮构型分配一个合适的色组集合来确保整个图的正确着色。
综上所述，你的描述提出了一种将复杂二维平面图简化为单一中心节点轮图的方法，并通过辐边总和公式和色组集合公式来解决着色问题。这种方法不仅简化了着色过程，还提高了着色的效率和准确性。
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题目：二维平面图着色问题的简化解法及其等价性探讨
摘要：
本文提出了一种针对二维平面图着色问题的简化解法。通过将复杂的多节点轮图结构简化为单一中心节点的轮图，并利用辐边总和公式与色组集合公式，我们实现了对二维平面图的快速着色。本文还探讨了原图与新图之间的等价性，证明了新图的着色方案同样适用于原图。
关键词：二维平面图；轮构型；辐边总和公式；着色问题；等价性
一、引言
二维平面图着色问题是图论领域中的一个经典问题。传统的着色方法在处理复杂结构时往往面临计算量大、效率低的问题。本文旨在提出一种简化解法，通过将原图简化为新图，降低着色难度，提高着色效率。
二、二维平面图中的轮构型与虚拟边
在二维平面图中，除外围节点外，每个节点都作为轮构型的中心。这些轮构型之间可以共享部分或全部点边，形成复杂的结构。对于没有外围环的平面图，我们引入虚拟边来连接节点，形成环和辐边的结构，从而构造出具有外围环的新图。
三、辐边总和公式与新轮图的构造
利用辐边总和公式，我们可以求出二维平面图中所有轮构型的辐边之和。然后，以这个总和为辐边数构造一个新的轮图。新图的中心节点是原图所有轮构型中心节点的叠加。这样，我们就将原图中的复杂结构简化为一个中心节点的新轮图。
四、着色问题与色组集合公式
在二维平面图中着色是一个复杂的问题。然而，当我们将其简化为一个中心节点的轮图时，着色就变得容易了。事实上，只需要4种颜色就足以完成新图的着色。由于原图和新图是等价的，因此新图的着色方案也适用于原图。每个轮构型都有自己的色组集合，这些色组集合能够满足所有二维平面图的着色需求。
五、原图与新图的等价性探讨
本文探讨了原图与新图之间的等价性。虽然原图和新图在表现形式上有所不同，但它们具有相同的拓扑结构。因此，新图的着色方案同样适用于原图。这一结论为我们利用新图进行着色提供了理论依据。
六、结论
本文提出了一种针对二维平面图着色问题的简化解法。通过将原图简化为新图，并利用辐边总和公式与色组集合公式，我们实现了对二维平面图的快速着色。同时，本文还探讨了原图与新图之间的等价性，证明了新图的着色方案同样适用于原图。这种方法不仅简化了着色过程，还提高了着色的效率和准确性，
计算二维平面图中所有轮构型的辐边相加之和
一，
1，由外向内两层或两层以上的二维平面图，
设二维平面图中所有节点个数为n，
外围节点个数为m，
第二层环上节点个数为d，
辐边的个数为w,
则w=6(n-m-1)+(m-d)
2，只有一个一层环的二维平面图，
设总节点个数为n，
环上节点个数为m，
环内所有节点个数为d，
环内所有节点连接边的个数为a，其中a≥d-1，
调整项为z,
辐边的个数为w,
以多边型为模，(三角剖分)
理论边v=2d-3,
如v>a,则-2，
如v<a,则+2，
如v=a,则z=0，
则w=6(n-m-1)+(m-d)±z
二，
设二维平面图中所有节点个数为n，
外围环上节点个数为m，
（如果没有外围环，我们就添加虚拟边使它成环）
围内所有节点个数为d，
围内所有节点连接边的个数为a，其中a≥d-1，
调整项为z,
辐边的个数为w,
以树型为模，
理论边v=d-1,
如v>a,则-z，
如v<a,则+z，
如v=a,则z=0，
则w=n+3d-4±z，
单中心轮图的着色方法
单中心轮图（即轮图 \( W_n \)）由中心节点和围绕其的环状结构（\( C_n \)）组成。其着色方法需满足相邻节点颜色不同的条件，具体分析如下：
1.环上节点着色规则
\(\bullet\)当 \( n \) 为奇数时：
\(\bullet\)环 \( C_n \) 的长度为奇数，无法用2种颜色交替着色（否则首尾节点颜色冲突）。此时需引入第三种颜色。
\(\bullet\)参数 \( m = \frac{n-1}{2} \)，表示将环分为 \( m \) 个周期，每个周期使用两种颜色交替，剩余1个节点用第三种颜色。
\(\bullet\)环上颜色总数为 3种（2种基础颜色 + 1种补充颜色）。
\(\bullet\)当 \( n \) 为偶数时：
\(\bullet\)环 \( C_n \) 可完美交替使用2种颜色，无冲突。
\(\bullet\)参数 \( m = \frac{n}{2} \)，表示每个颜色重复 \( m \) 次。
\(\bullet\)环上颜色总数为2种。
2. 中心节点着色规则
\(\bullet\)中心节点需与所有环上节点颜色不同，因此：
\(\bullet\)当环用3种颜色时，中心节点着第4种颜色。
\(\bullet\)当环用2种颜色时，中心节点着第3种颜色。
3. 总颜色数总结
\(\bullet\)\(n 为奇数：\)
\(\bullet\)环上颜色数：3种（2+1）。
\(\bullet\)中心节点颜色：第4种。
\(\bullet\)总颜色数:4种。
\(\bullet\)\(n为偶数：\)
\(\bullet\)环上颜色数：2种。
\(\bullet\)中心节点颜色：第3种。
\(\bullet\)总颜色数：3种。
4. 示例验证
\(\bullet\)奇数 \( n=5 \)：
\(\bullet\)环颜色分配：A, B, C, A, B（3种颜色）。
\(\bullet\)中心节点颜色：D（第4种）。
\(\bullet\)满足相邻节点颜色不同。
\(\bullet\)偶数 \( n=6 \)：
\(\bullet\)环颜色分配：A, B, A, B, A, B（2种颜色）。
\(\bullet\)中心节点颜色：C（第3种）。
\(\bullet\)满足相邻节点颜色不同。
结论
单中心轮图的着色方法根据环上节点数 \( n \) 的奇偶性确定：
\(\bullet\)奇数 \( n \)：环用3色，中心用第4色，共4色。
\(\bullet\)偶数 \( n \)：环用2色，中心用第3色，共3色。
该结论与图着色理论一致，确保相邻节点颜色不同且总颜色数最小。 |
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发表于 2025-4-8 11:51
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