“微分几何之父”陈省身谈几何学发展：从欧几里得到黎曼的伟大历程

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“微分几何之父”陈省身谈几何学发展：从欧几里得到黎曼的伟大历程

原创  关注全球科研的 科学方程式  2025 年 02 月 19 日 17:47  北京

几何学是研究空间中点、线、面及其相互关系的学科，是数学的核心分支。它贯穿于人类文明的发展史，不仅推动了人类对自然和宇宙的理解，并在现代科技和艺术中发挥着关键作用。

那么，什么是几何学？几何学有着怎样的发展历程？ 1999 年，在复旦大学的系列演讲中，当代最伟大的几何学家之一，也是中国近代最有成就的数学家之一，陈省身先生给出了他的理解。“几何学是一门广泛而伟大的学问，跟许多其他的科学不但有关系、有作用，而且是基本的因素。”



NO.01  欧几里得时代，几何学就是数学

“说到几何学，我们第一个想到的是欧几里得。在世界出版物中，除了基督教的《圣经》之外，欧几里德的《几何原本》大概是销售最多的一本书了。”陈省身表示，《几何原本》代表着几何学的开端，但欧几里得的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学。



欧几里得生活在公元前三世纪古希腊的亚历山大城，在这个当时的文化和科学中心，他担任亚历山大学校的几何教授，《几何原本》可能是当时的一个课本。“当时，几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。”陈省身说，当时的几何就是数学的代名词，比现在几何的范围广泛得多。

NO.02  笛卡尔引入代数，创立解析几何

推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是法国数学家笛卡尔（1596-1650），他用坐标的方法，把几何变成了代数，也由此创立了解析几何。当然，可能笛卡尔当时并不觉得这一贡献有多大，所以他的几何论文只是他的哲学著作里最后的一个附录。

但在陈省身看来，“这个思想在几何上是革命性的，因为当把几何的现象用坐标表示出来时，就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点，你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。”



笛卡尔坐标系是解析几何的重要概念：相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系；如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。陈省身指出，只要用数来确定坐标，就把几何问题代数化了，几何就变成形式化的东西了。“只要每组数能定义一个点，我们就把它叫坐标（例如，在地球上每一点有经度和纬度）。从而，几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。”

NO.03  质疑第五公设，波尔加开创非欧几何

欧几里得的《几何原本》中提出了多条公设，其中的第五公设，即“平行公设”：有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。从与欧几里得同时代的数学家开始，很多人就都对这条公理有异议，有很多人试图通过其他 4 条公设来证明第五公设，但都以失败告终。因为所谓的证明总是包含一个无法证明的隐藏假设。

正是因为对这一公设的质疑，在 19 世纪中叶，非欧几何诞生了。“非欧几何的发现者，一个是波尔约·J（Bolyai János），匈牙利人，在 1832 年；一个是罗巴切夫斯基（Lobachevski），俄国人，在 1847 年。不过，大数学家高斯对此也完全清楚，但他没有把它发表成一个结论。后来到了 1868 年，意大利几何学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）在欧几里得的三维空间里造了一个曲面（称为伪球面，pseudosphere），这个曲面上的几何就是非欧几何。”陈省身解释说，上述结果说明，假定有一个三维的欧几里得空间，就可以造出一个非欧几何的空间来，所以在欧几里得的几何中亦有非欧几何。



有了非欧几何，第五公设也得到了更新：过给定直线外一点，存在超过一条以上的直线过该点，且与给定直线平行。

NO.04  从高斯到黎曼，铸就现代几何基础

几何学发展到现代，如何描述空间变成了主要的问题。因为一个空间可以有好几种坐标，那么空间到底有什么样的几何性质？陈省身指出，高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论，即黎曼几何，并由此奠定了现代几何学的基础。“高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国数学家。”



黎曼几何学的核心是黎曼流形和黎曼度量。例如，在黎曼几何学中，可以利用曲率来量度曲面上的弯曲程度：如果曲率为负，说明曲面向内弯曲；如果曲率为正，说明曲面向外弯曲。它通过在曲面上引入非欧几何学的思想，建立了一种更为广泛和深入的几何学体系。陈省身甚至认为，“现在黎曼几何的结果多得不得了，不但是几何的基础，可能也是整个数学发展的基础。”

NO.05  结语

几何学是数学中最古老的分支之一，并伴随人类文明史不断地向前发展：《几何原本》奠定了几何学的基本框架，解析几何将代数与几何学相结合，非欧几何拓展了几何学的范畴，黎曼几何则为现代几何学提供了坚实的基础。

正是在这样的基础上，现代几何学蓬勃发展，其中的代表就是陈省身先生所创立的微分几何学，他也因此被公认为“微分几何之父”。

本文摘编自陈省身先生 1999 年在复旦大学演讲的第一讲。

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