一个最终“收敛”到 8 的关于质因数分解的猜想

天山草

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用下面这个程序可检验任何一个初始值 \(a_1\)。

1. Clear["Global`*"];
   
2. a = 28736513;
   
3. Do[
   
4. b = Flatten[FactorInteger[a]]; n = Length[b];
   
5. s = 0;
   
6. Do[s = s + b[[k]] b[[k + 1]], {k, 1, n, 2}];
   
7. a = s + 1;
   
8. Print[a]; If[a == 8, Break[]], {999}]

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例如对于 \(a_1=28736513\)，迭代 7 次能收敛到 8。

1. 51464
   
2. 933
   
3. 315
   
4. 19
   
5. 20
   
6. 10
   
7. 8

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天山草

我试验的数据有限，不知道有没有反例出现？这个猜想可能并不难证明。

cgl_74

你的这个猜想，结论是正确的。
证明也不难。大致思路如下：
1. 大于8的数a1，经过分解为a2，可证a2>6
2. 若a1>8是合数，那么a2<a1；若a1是质数，那么a2 = a1+1必定是合数。再次迭代，数值会严格减小。
3. 由结论2，即经过有限次迭代，数值会降到8或以下。但是由结论1，数值只能为8或者7.然后数值在7与8之间循环。