数论简史：人类探索数学本质的数千年长征

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数论简史：人类探索数学本质的数千年长征

原创  遇见数学 遇见数学  2025 年 04 月 18 日 10:16  河南

数论史话

起源

古代美索不达米亚：最早的数学奥秘

人类历史上最早与数论理论相关的实物证据是一块破损的泥板：被称为普林顿 322 号泥板（Plimpton 322 tablet）的文物。



这块约公元前 1800 年的美索不达米亚拉尔萨出土的泥板上记录着一系列勾股数（Pythagorean triple，毕达哥拉斯三元组）——即满足 a^2+b^2=c^2  的整数组 (a,b,c) 。

让人啧啧称奇的是，泥板上列出的数不仅多且数值较大，显然不会是通过暴力尝试得出的结果。第一列上方用巴比伦文标出的大意是："对角线的 takiltum 已被减去，使得宽度..."（takiltum 可能是指某种比值——原文尚未完全破译出来）。

通过分析这个表格的内容，现代学者推测，古巴比伦人可能使用了相当于现代数学中以下恒等式的方法来构造这些三元组：

                        [(x-1/x)/2]^2 + 1 = [(x+1/x)/2]^2

这一数学关系隐现在古巴比伦的日常计算练习中。如果使用了其他方法，那么这些三元组可能是先被构造出来，然后按  c/a 的值重新排序，这很可能是为了在实际中的应用。

至于这些精确计算的用途，至今仍是个谜。因为巴比伦天文学在几个世纪后才真正发展起来，所以不太可能是为天文观测服务。有学者认为，这个表格可能是用于教学或数学训练的工具，就像今天的“练习册”一样。

不管怎样，普林顿 322 号泥板是巴比伦数学中唯一存留至今关于现代意义上数论相关的文物证据，尽管历史研究表明当时巴比伦代数这方面要更为发达。

古希腊：数论的哲学基础

虽然其他文明可能在初期影响了希腊数学，但这些外来影响的证据都出现较晚。希腊的“arithmetike”（算术学，即数的理论或哲学研究）很可能是一种本土传统。

关于公元前 6 至 4 世纪希腊数学的知识，除了少量残存的片段外，主要来自当时非数学家的记述或早期希腊化时期数学著作中的引用，就数论而言，主要是柏拉图、亚里士多德和欧几里得的作品。



柏拉图对数学表现出浓厚的兴趣，并明确区分了两类数："arithmetike"（数的理论性研究）和实用性的“logistike”（实用计算）。

在他的对话录《泰阿泰德篇》中，柏拉图记录了西奥多勒斯证明  √3,√5,…,√17 是无理数的成就。西奥多勒斯的学生泰阿泰德（Theaetetus） 则进一步研究不可通约量的类型，也被认为是数系理论的先驱。

《泰阿泰德篇》记述柏拉图对知识论的看法。

亚里士多德指出，柏拉图的数学哲学深受毕达哥拉斯学派影响。罗马哲学家西塞罗也重申了这一点：“据说柏拉图学习了所有毕达哥拉斯的知识”。

欧几里得在他的巨著《几何原本》第 VII 至 IX 卷中专门探讨了明确属于数论范畴的主题，包括质数和整除性。他提出了计算两个数的最大公约数的方法——即著名的欧几里得算法（命题 VII.2），并给出了质数无穷多的证明（命题 IX.20）。书中还包含很可能源自毕达哥拉斯学派的早期数学知识（命题 IX.21--34），如“奇数乘以偶数得偶数”和“如果一个奇数整除一个偶数，那么它也整除这个偶数的一半”。这些基础命题构成了日后证明  √2 是无理数的逻辑基础。

毕达哥拉斯与无理数的震撼

在毕达哥拉斯学派中，数学不仅是计算，更是宇宙秩序的象征。他们认为“万物皆数”，尤其重视奇偶性。



然而，√2  这一无理数的发现，却打破了这种“整数和比例统治一切”的信仰。传说发现者学派中的希帕索斯（Hippasus） 因此遭到放逐，甚至被处死。

这一发现迫使数学家们区分数（整数和有理数——传统算术的研究对象）与几何中的长度和比例（可对应于实数，无论是否有理）。

毕达哥拉斯传统还研究了所谓的多边形数或有形数（Figurate number）——即可以排列成几何图形的数。虽然现代数学更关注平方数、立方数等，但三角形数、五边形数等的研究在 17 至 19 世纪初的早期现代时期产生了深远影响。

1773 年，德国学者莱辛在担任沃尔芬比特尔公爵图书馆馆长期间，在整理这座欧洲最古老、最重要的图书馆之一的藏书时，发现了一份写在羊皮纸上的古代希腊语文本。这份文献署名为"阿基米德致埃拉托斯特尼"，里面记载了一个数学问题："阿基米德牛群问题"，其解法（在原始手稿中缺失）需要解决一个不定二次方程，这种方程后来被误称为"佩尔方程"。据历史记载，这类复杂方程首次被印度数学家成功解决，不过阿基米德本人是否掌握解法仍是未解之谜。

【遇见数学】："佩尔方程"（Pell's equation）的命名确实是数学史上一个误会。因为英国数学家约翰·佩尔（John Pell，1611-1685）实际上并没有对这类方程做出任何重要贡献，不过这一名称仍在数学文献中广泛延用下来。

晚期古代：丢番图的《算术》


丢番图的《算术》拉丁文译本封面，由巴歇特翻译（1621）

除了新毕达哥拉斯学派如尼科马库斯和斯密尔纳的泰翁的基础性著作外，晚期古代算术学的最高权威当属亚历山大的丢番图，他可能生活在公元 3 世纪，比欧几里得晚约五百年。

关于他的生平知之甚少，但他留下了两部重要著作：《论多边形数》，一篇按欧几里得方式写的关于形数的简明论文，以及更为重要的《算术》，这是一部关于前现代代数的开创性著作，主要用代数方法解决数值问题。

丢番图原著《算术》共十三卷，其中六卷以原始希腊文保存下来，另外四卷以阿拉伯文译本流传至今。《算术》是一系列已解决问题的集合，其任务始终是找到多项式方程组的有理解，通常形式为 f(x,y)=z^2 或 f(x,y,z)=w^2 。用现代术语来说，这些被称为“丢番图方程”（Diophantine equations）——即寻求有理数或整数解的多项式方程，这成为了数论中一个重要的研究方向。

亚洲的数论传统

中国：剩余定理与大衍术

我国数学史上的“中国剩余定理”最早出现在三至五世纪之间的《孙子算经》中，它作为一个实用问题这样叙述："有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"（一堆物品，三个一组剩 2 ，五个一组剩 3 ，七个一组剩 2 ，问共有多少物品？）



值得注意的是，书里解法中有一个关键步骤被略过处理，这正是后来由印度数学家阿耶波多（Aryabhaṭa ，约 476-550 年）在他的方法“Kuttaka”（意为“粉碎器”）中解决的。这一数学成果后来在中国得到了显著发展，秦九韶在 1247 年的《数书九章》中提出了更完整的解法，称为“大衍术”，这一方法在十九世纪初被英国传教士伟烈亚力（Alexander Wylie）翻译成英文，引起了西方数学界的关注。


伟烈亚力（1815 年 4 月 6 日 — 1887 年 2 月 10 日）

中国古代数学中也存在一些数字神秘主义的元素，但与毕达哥拉斯学派的数字哲学不同，中国的数字神秘主义似乎更多停留在哲学层面，未能推动纯数学理论的发展。

印度：佩尔方程的早期解法

尽管希腊天文学可能影响了印度学问，甚至促进了三角学的发展，但印度数学似乎主要是一个独立发展的传统。值得注意的是，没有证据表明欧几里得的《几何原本》在十八世纪之前传入印度。

阿耶波多（476-550 年）证明了同余方程组 n ≡ a1 mod m1 , n ≡ a2 mod m2  可以通过他称为“kuttaka”（粉碎器）的方法解决。这一方法本质上接近于欧几里得算法的推广，但很可能是在印度独立发展的。阿耶波多似乎特别关注这一方法在天文计算中的应用。



婆罗摩笈多（628 年）开创了对不定二次方程的系统研究，特别是后来在西方被错误命名为“佩尔方程”的 x^2-Ny^2=1 形式的方程。这类方程可能最早引起了阿基米德的兴趣，但在西方直到费马和欧拉的时代才开始得到系统解决。后来的印度数学家继续沿用婆罗摩笈多的技术术语和方法。

解决佩尔方程的一般性方法（称为“chakravala”或“循环法”）最终由耶亚提婆“Jayadeva”（十一世纪被引用，但其原著已失传）发明。这一方法的现存最早完整描述出现在婆什迦罗二世的《比嘉-格尼塔》（Bija-ganita ，意为“种子计算”或代数学）中，展示了印度数学在解决复杂不定方程方面的非凡成就。

印度数学在十八世纪末之前在欧洲几乎完全不为人知。直到 1817 年，婆罗摩笈多和婆什迦罗的著作才由亨利·科尔布鲁克翻译成英文，向西方世界展示了印度数学的丰富。

伊斯兰黄金时代的数学贡献


▲ 伊本·海什木

九世纪初，阿拔斯王朝哈里发马蒙下令将许多希腊数学著作和至少一部印度著作翻译成阿拉伯文，这标志着伊斯兰世界对古代数学知识的系统性吸收开始。丢番图的《算术》由库斯塔·伊本·卢卡（Qusta ibn Luqa , 820-912）翻译成阿拉伯文，对伊斯兰数学产生了深远影响。

阿尔-卡拉吉（Al-Karaji ，953 - 约 1029）的《al-Fakhri》部分建立在丢番图著作的基础上，进一步发展了代数方法。根据现代学者拉希德·罗什迪的研究，伊本·海什木（也被称为阿尔哈曾）已经了解后来被称为威尔逊定理的重要数论结果，这表明伊斯兰数学家在数论方面也取得了原创性的突破。

中世纪西欧：数论的沉寂

与东方数学的蓬勃发展相比，中世纪的西欧在数论方面几乎没有进展。唯一值得一提的是斐波那契（他曾在北非和君士坦丁堡学习）关于等差数列中平方数的研究。真正的变化始于文艺复兴晚期，当时欧洲学者开始重新发掘和研究希腊古代著作。丢番图《算术》的文本校订和拉丁文翻译成为西方数论复兴的重要催化剂。

早期现代数论：欧洲的觉醒

费马：现代数论之父


▲ 皮埃尔·德·费马

皮埃尔·德·费马（1607-1665）是现代数论的奠基人之一，尽管他从未正式出版过自己的数学著作，而是通过信件和私人笔记交流思想。因此，他关于数论的贡献几乎完全保存在给其他数学家的信件和他在书籍页边的随笔注释中。尽管费马从古典资料中汲取灵感，但他几乎不提供任何证明——当时在数论领域还没有系统的研究方法可循。

费马对数论的主要贡献包括：

1. 完全数和亲和数研究：费马最初对完全数（如 6=1+2+3，其所有真因子之和等于它本身）和亲和数（如 220 和 284 ，一个数的真因子之和等于另一个数，反之亦然）产生了兴趣。这些概念最早出现在欧几里得的《几何原本》中，费马对它们的研究引导他深入探索整数因子的性质，这成为他与当时数学界通信的重要主题。

2. 四平方和定理：1638 年，费马声称但未证明，每个自然数都可以表示为四个或更少的平方数之和。这一猜想后来由拉格朗日证明。

3. 费马小定理（1640）：若 p 是一个质数，且整数 a 不被 p 整除，则 a^(p-1) ≡ 1 mod p 。这一简洁而深刻的结果成为现代数论和密码学的基石。

4. 平方和的性质：如果 a 和 b 互质，则 a^2+b^2  不能被任何形如 4k-1 的质数整除；而每个形如 4k+1 的质数都可以表示为两个平方数之和。费马在 1659 年告诉惠更斯，他已用“无穷递降法”（Proof by infinite descent）证明了后一个命题。

5. 佩尔方程：1657 年，费马向英国数学家提出解决 x^2-Ny^2=1 的挑战，这个方程后来被错误地命名为"佩尔方程"。沃利斯和布朗克迅速提供了算法解法，但费马指出他们只给出了算法而非证明，他表示可以通过无穷递降法找到严格证明。

6. 费马大定理的特例：费马在《关于丢番图的观察》附录中证明了  x^4+y^4=z^4 在整数中没有非平凡解。他还提到  x^3+y^3=z^3 也无解，并暗示可用同样方法证明。

7. 著名的费马大定理：费马在丢番图著作副本页边空白留下了最著名的注释，声称对于所有 n≥3 ，方程 x^n+y^n=z^n 在正整数中没有解，但他声称“我已发现一个绝妙的证明，可惜这页边太窄，写不下”。这个定理直到 1994 年才被安德鲁·怀尔斯最终证明，成为数学史上最著名的猜想之一。

欧拉：数论的系统化

莱昂哈德·欧拉（1707-1783）是 18 世纪最伟大的数学家，他对数论的兴趣最初是在 1729 年由业余数学家哥德巴赫引发的。



欧拉的工作被视为现代数论的"重生"，因为他系统地发展了费马未能充分传播的思想。欧拉在数论方面的贡献包括：

1. 费马陈述的证明：欧拉证明了费马的多个命题，包括将费马小定理推广到非质数模数；证明了 p=x^2+y^2  当且仅当 p ≡ 1 mod 4 ；为四平方和定理奠定了基础（完整证明后来由拉格朗日给出，随后欧拉又对其改进）；以及证明了  x^4+y^4=z^4 和 x^3+y^3=z^3 无非零整数解。

2. 佩尔方程的研究：欧拉深入研究了 x^2-Ny^2=1 形式的方程（虽然他错误地将其命名为"佩尔方程"，实际上佩尔并未研究它）。他发现了连分数与这类方程解法之间的重要联系。

3. 分析数论的奠基：欧拉开创性地将分析方法引入数论研究。在研究四平方和定理、整数分拆、五边形数和质数分布时，他巧妙运用了无穷级数等分析工具。虽然当时复分析尚未发展，欧拉仍进行了关于后来被称为黎曼 ζ 函数的开创性研究。

4. 二次型理论：继承费马的思路，欧拉更深入地研究了哪些质数可以表示为 x^2+Ny^2 形式，其中一些研究预示了后来的二次互反律。

5. 丢番图方程研究：欧拉系统地研究了各类丢番图方程，特别是那些属于亏格 0 和 1 的方程。他注意到丢番图问题与椭圆积分之间存在深刻联系，后者的研究也是由他本人开创的。

拉格朗日、勒让德和高斯：数论的黄金时代

约瑟夫-路易·拉格朗日（1736-1813）为费马和欧拉的许多猜想提供了严格证明，如四平方和定理和佩尔方程理论。他对二次型进行了全面系统的研究，定义了等价关系，展示了简化方法等，为后来的发展奠定了基础。



阿德里安-马里·勒让德（1752-1833）首次明确陈述了二次互反律——这一在数论中极其重要的定理。他还猜测了相当于后来的质数定理和狄利克雷算术级数定理的结果。勒让德全面研究了 ax^2+by^2+cz^2=0 形式的方程，并在二次型理论方面取得重要进展。晚年，他成为第一个证明费马最后定理对 n=5 成立的数学家，这项工作得益于他与狄利克雷和索菲·热尔曼的合作。



卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）在其 1798 年出版的经典著作《算术研究》中证明了二次互反律并完整发展了二次型理论，特别是定义了二次型的合成操作。他引入了同余符号等基本数学记号，并专门讨论了素性测试等计算问题。《算术研究》的最后一节将单位根理论与数论联系起来，高斯指出：“圆的等分理论...本身并不属于算术，但其原理只能从高等算术中得出。”这开创性的工作为伽罗瓦理论和代数数论的发展铺平了道路。

【遇见数学】：这些看似简单的圆形分割问题实际上是高等数论问题的几何表现。解决它们需要理解整数、素数和代数结构的深层性质，而不仅只是几何上的技巧。

数论的成熟与分支

从十九世纪初开始，数论经历了几个关键发展阶段：

1. 学科自我意识的形成：数论（或称高等数论）开始真正被意识到是一个独立且重要的研究领域。在这之前，数论问题常常被视为数学中的零散难题或好奇现象，而非一个系统化的研究方向。

2. 数学基础的现代化：为支持现代数论研究所需的数学工具得到发展，包括复分析、群论、伽罗瓦理论等。同时，分析变得更加严谨，代数更加抽象化。

3. 数论的专业化分支：数论逐渐细分为现代意义上的几个子领域，特别是分析数论和代数数论两大主要方向。

代数数论起源于互反律和单位根的研究，但随着抽象代数、理想理论和价理论的发展而真正成形。分析数论的标志性起点通常认为是狄利克雷于 1837 年证明的关于算术级数中质数分布的定理，其证明开创性地引入了 L-函数，并使用了渐近分析和极限过程。


▲ 彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷

事实上，分析方法在数论中的应用可以追溯到欧拉的时代（1730 年代），他使用形式幂级数和非严格的极限论证研究数论问题。复分析在数论中的系统应用始于黎曼 1859 年关于 ζ 函数的开创性工作，这成为现代分析数论的基石。同时，雅可比的四平方定理（1839 年）所代表的另一研究传统（现在被归为模形式理论）也在分析数论中占据了重要地位。

至此，数论从最初的神秘数字观察，经过几千年的发展，演变成为数学中最深刻、最富挑战性的领域之一，不仅具有纯数学的理论美感，也在现代密码学和计算机科学中找到了重要应用。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/Number_theory#History

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片