梅森素数的指数p的特征

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梅森素数的指数P：
M1～M12       
序号        p
1        2
2        3
3        5
4        7
5        13
6        17
7        19
8        31
9        61
10        89
11        107
12        127

M13～M34       
序号        p
13        521
14        607
15        1,279
16        2,203
17        2,281
18        3,217
19        4,253
20        4,423
21        9,689
22        9,941
23        11,213
24        19,937
25        21,701
26        23,209
27        44,497
28        86,243
29        110,503
30        132,049
31        216,091
32        756,839
33        859,433
34        1,257,787

M35～M52       
序号        p
35        1,398,269
36        2,976,221
37        3,021,377
38        6,972,593
39        13,466,917
40        20,996,011
41        24,036,583
42        25,964,951
43        30,402,457
44        32,582,657
45        37,156,667
46        42,643,801
47        43,112,609
48        57,885,161
49*        74,207,281
50*        77,232,917
51*        82,589,933
52        136,279,841

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GIMPS项目
    1996年初，美国数学家和程序设计师乔治·沃特曼（George Woltman）编制了一个名为Prime95的梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的“因特网梅森素数大搜索”项目，简称GIMPS。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基（Scott Kurowski）和其他人建立了“素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。一个庞大的数据库记录着所有任务的分配情况和计算报告，如果某个交回的计算报告显示发现了一个新的梅森素数，还需经过一个专门机构用不同算法验证才能被正式确认。  

       为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国旧金山的电子前沿基金会（EFF）于1999年3月向全世界宣布，为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元（已颁发）。后面的奖金依次为：超过1000万位，10万美元（已颁发）；超过1亿位，15万美元；超过10亿位，25万美元。 [20]此外，梅森素数的发现者还可以从GIMPS中获得至少3000美元的奖励。但其实绝大多数志愿者参与该项目并不是为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。
       目前人们通过GIMPS项目已找到17个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。世界上有190多个国家和地区超过60万人参加了这一国际合作项目，并动用了上百万台计算机（CPU）联网来寻找新的梅森素数。 [21]该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度可达到每秒850万亿次。著名的《自然》杂志说：GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。

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M35～M52                                       
序号           p                  位数               发现时间                    发现者                国家
35        1,398,269        420,921        1996-11-13        GIMPS / Joel Armengaud        法国
36        2,976,221        895,932        1997-8-24        GIMPS / Gordon Spence        英国
37        3,021,377        909,526        1998-1-27        GIMPS / Roland Clarkson        美国
38        6,972,593        2,098,960        1999-6-1        GIMPS / Nayan Hajratwala        美国
39        13,466,917        4,053,946        2001-11-14        GIMPS / Michael Cameron        加拿大
40        20,996,011        6,320,430        2003-11-17        GIMPS / Michael Shafer        美国
41        24,036,583        7,235,733        2004-5-15        GIMPS / Josh Findley        美国
42        25,964,951        7,816,230        2005-2-18        GIMPS / Martin Nowak        德国
43        30,402,457        9,152,052        2005-12-15        GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone        美国
44        32,582,657        9,808,358        2006-9-4        GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone        美国
45        37,156,667        11,185,272        2008-9-6        GIMPS / Hans-Michael Elvenich        德国
46        42,643,801        12,837,064        2009-6-4        GIMPS / Odd Magnar Strindmo        挪威
47        43,112,609        12,978,189        2008-8-23        GIMPS / Edson Smith        美国
48        57,885,161        17,425,170        2013-1-25        GIMPS / Curtis Cooper        美国
49*        74,207,281        22,338,618        2016-1-7        GIMPS / Curtis Cooper        美国
50*        77,232,917        23,249,425        2017-12-26        GIMPS / Jonathan Pace        美国
51*        82,589,933        24,862,048        2018-12-7        GIMPS / Patrick Laroche        美国
52        136,279,841        41,024,320        Oct-24        GIMPS/Luke Durant        美国
注：
各表分别列出人工、借助计算机以及通过GIMPS项目发现的梅森素数。
还不确定在M48和M51之间是否还存在未知的梅森素数，其后的序号用 * 标出。
后两表梅森素数的数值从略。

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意义

       梅森素数自古以来就是数论研究的一项重要内容，历史上有不少大数学家都专门研究过这种特殊形式的素数。自古希腊时代起直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完全数。但自梅森提出其著名断言后，特别是欧拉证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理以来，偶完全数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。
      寻找梅森素数在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效途径。自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。
        寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如M1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因此它的研究推动了“数学皇后”——数论的发展，促进了计算数学和程序设计技术的发展。

       寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的17个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能，这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了快速傅里叶变换的应用。
        梅森素数在实用领域也有用武之地，人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。
      由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，也由于发现新的“大素数”所引起的国际反响，使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科技水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊曾表示：梅森素数的研究进展是科学发展的一个重要方面，人们期待一位当今的欧几里得来证明梅森素数永不枯息。
梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。

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M48～M52的指数p的特征：

序号           p                        p-1的特征                                p+1的特征
48      57,885,161   57885160=2^3*5*29*139*359    57885162=2*3*9647527
49*     74,207,281   74207280=2^4*3*5*7*44171      74207282=2*107*346763
50*     77,232,917   77232916=2^2*29*665801         77232918=2*3*7^2*262697
51*     82,589,933   82589932=2^2*103*200461       82589934=2*3*7*1966427
52      136,279,841  136279840= 2^5*5*851749        136279842=2*3*1381*16447

有类似特征的素数p就可能是梅森素数的指数p

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上线公式：f(x1)=(3.14*x1)/ln([（X1+2）/50]*0.5+x1+5)-0.8,x1=1,2,3,……,其中[]为高斯函数，
P=1.618^f(x1)
下限公式：y=302887e ^(0.1106x)，R ^2=0.8477.
按前一个计算得到p53=239813977
按第二个公式计算得到p53=106421169
接近实际的上线公式：f(x1)=(3.14*x1)/ln([（X1+2）/50]+x1+5)-0.8,x1=1,2,3,……,其中[]为高斯函数，
P=1.618^f(x1)
按这个公式计算得到p53=230162709
239813977+106421169=346235146，346235146/2=173117573
230162709+106421169=336583878，336583878/2=168291939

则，预测第53个梅森素数的指数p的值在168291939~173117573之间
或者略低于168291939

ysr

ysr 发表于 2025-4-24 13:06
M48～M52的指数p的特征：

序号           p                        p-1的特征                         ...

根据5漏的特征，判断一下在168291939~173117573之间的素数的特征，就有可能找到第53个梅森素数。

ysr

ysr 发表于 2025-4-24 13:06
M48～M52的指数p的特征：

序号           p                        p-1的特征                         ...

特征就是：
1：在p-1中素因子2的次数在2以上，而在p+1中素因子2的次数仅仅是1.
2：在p-1和p+1中，不同的素因子个数在3个以上，除了素因子2以外，其他不同的素因子的个数在2个以上。

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研究课题：
1：大数的快速四则或六则运算程序，
2：梅森素数的规律和快速判断程序，
3：佩尔方程解的特征和最小解快速求解方法和公式及程序。