考虑所有满足 C(n,2)-C(m,2)=2025 的正整数 n,m ，求 n-m 的最大值

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luyuanhong

题  C(n,k)=n!/[k!(n-k)!] ，考虑所有满足 C(n,2)-C(m,2)=2025 的正整数 n,m ，

    求 n-m 的最大值。

解  2025=C(n,2)-C(m,2)=n(n-1)/2-m(m-1)/2=(n^2-m^2-n+m)/2=(n-m)(n+m-1)/2 。

    可见有 (n-m)(n+m-1)=2×2025=5040 。

    因为 (n+m-1)-(n-m)=2m-1＞0 ，所以必有 n+m-1＞n-m 。

    这样，本题要求解的问题就变成：

    将 5040 拆分成两个正整数 n-m 和 n+m-1 的乘积，n-m 要尽量大，但不能大于 n+m-1 。

    对 5040 作因式分解，经过尝试，容易求得满足上述条件的解是：

              n-m=54 ，n+m-1=75 。

    这时有 n=65 ，m=11 ，n-m 取到最大值 n-m=65-11=54 。

    C(n,2)-C(m,2)=C(65,2)-C(11,2)=2080-55=2025 ，符合已知条件。