求所有符合条件的正整数组合 (a,p) ，其中 p 为质数，p^a+a^4 是一个完全平方数

evaQ

Future_maths

(1，3)与（2，3）

Future_maths

只有两组。

evaQ

有過程嗎

cgl_74

其实，(6,3); (9,3)也都是解。我大概做了一下，没有发现明显规律证明是有限组解。等我有时间再看看。
你这个问题不像是考试习题集里的，是一个纯粹的数学问题。

cgl_74

cgl_74 发表于 2025-4-28 15:42
其实，(6,3); (9,3)也都是解。我大概做了一下，没有发现明显规律证明是有限组解。等我有时间再看看。
你这 ...

我应该找到一个方法，证明只有有限组解。解的范围也就那么几组而已。
具体解法我后面抽时间整理下。

cgl_74

cgl_74 发表于 2025-4-28 16:24
我应该找到一个方法，证明只有有限组解。解的范围也就那么几组而已。
具体解法我后面抽时间整理下。

我可以证明，全解有且仅有4组解。(1,3); (2,3);(6,3); (9,3).
证明方法就是先质因数分解，再圈一个大致范围，最后一个一个筛选，比较繁琐。没有用先进的定理，只是逻辑推导。

天山草

cgl_74 发表于 2025-4-28 18:44
我可以证明，全解有且仅有4组解。(1,3); (2,3);(6,3); (9,3).
证明方法就是先质因数分解，再圈一个大致 ...

当 \(p=2，3，5，…，199\) 和   \(a=1，2，3，…，63\) 时仍然只有上述四组解。
当 \(p=2，3，5，7\) 和   \(a=1，2，3，…，160\) 时仍然只有上述四组解。
当 \(p=2，3，…，12553\) 和   \(a=1，2，3，…，20\) 时仍然只有上述四组解。
例如：