求椭圆 x^2／4+y^2=1 外的一点 P(2,3) 到椭圆上点的最短距离和最长距离

永远

luyuanhong 发表于 2025-4-30 01:07

陆老师好，就以主贴题目为依据，怎么证明下面这句话呢？

证明：椭圆外一定点到椭圆上任意一点距离最大距离或最小距离点处的法线必通过椭圆外的定点。

Ysu2008

永远 发表于 2025-5-1 15:18
陆老师好，就以主贴题目为依据，怎么证明下面这句话呢？

证明：椭圆外一定点到椭圆上任意一点距离最大 ...

以椭圆外 P 点为圆心作圆，该圆半径不断扩大逐渐靠近椭圆，圆与椭圆最初相切的那一点就是最小值点，最后与椭圆相切的那一点就是最大值点，过这两个公切点的法线必经过圆心 P .

永远

Ysu2008 发表于 2025-5-2 11:16
以椭圆外 P 点为圆心作圆，该圆半径不断扩大逐渐靠近椭圆，圆与椭圆最初相切的那一点就是最小值点，最后 ...

这是结论，不知道怎么证明

永远

luyuanhong 发表于 2025-4-30 01:07

请问陆老师6楼：

1、拉格朗日乘数法是求极值的,不是求最值的。

2、如果要求最值,要把极值点的函数值和不可导点的函数值还有端点函数值进行比较


还有单调区间是否增减都没有说明，怎么就下结论呢，想不明白。还有求的值都没有比较大小也没写

既然拉格朗日乘数法是求极值的，那么为什么陆老师求的的极值就一定是最值呢？

luyuanhong

永远 发表于 2025-5-14 17:19
请问陆老师 6 楼：

1、拉格朗日乘数法是求极值的,不是求最值的。

2、如果要求最值,要把极值点的函数值和不可导点的函数值还有端点函数值进行比较

还有单调区间是否增减都没有说明，怎么就下结论呢，想不明白。还有求的值都没有比较大小也没写

既然拉格朗日乘数法是求极值的，那么为什么陆老师求的的极值就一定是最值呢？

用 Lagrange 乘子法，在椭圆 x^2／4+y^2=1 上求到 P(2,3) 距离最短、最长的点。

首先，因为所求的点，在整个椭圆圆周上连续变化，没有端点限制，所以不用考虑端点处的函数值。

（如果题目求的是上半椭圆圆周上的点，或右半椭圆圆周上的点，那就要考虑端点了。）

其次，从题目意思或从直观意义都可以看到，必有一个距离最短的点和一个距离最长的点。

本题用 Lagrange 乘子法，可以求得两个解，理论上说，这两个点只是极值点，不一定是最值点。

但是，已知此题必有一个距离最短的点和一个距离最长的点，而这两点都是极值点，由此可见，

我们求得的两个极值点，没有其他可能，必定有一个是距离最短的点，另一个是距离最长的点。

再比较一下这两个点到 P(2,3) 距离的大小，就可以判断出，哪个是最近的点，哪个是最远的点。

在第 6 楼我的解法中，我正是这样做的。

永远

luyuanhong 发表于 2025-5-15 10:27
用 Lagrange 乘子法，在椭圆 x^2／4+y^2=1 上求到 P(2,3) 距离最短、最长的点。

首先，因为所求的点 ...

陆老师好，若把主贴改成：在椭圆 x^2／4+y^2=1 ，y>0上求到 P(2,3) 距离最短、最长的点。该怎么求？