关于 Heine-Borel 定理的历史札记

luyuanhong

关于 Heine-Borel 定理的历史札记

原创  亲切的桃子  亲切的桃子  2025 年 02 月 23 日
  
这个 [ Heine-Borel ] 定理的功绩不在于它的证明（证明工作是不难的），而在于认识到这个定理的重要性，而且把它作为一个清楚的定理确切地陈述出来。——Henri Lebesgue《积分学教程》

Rudin 数学分析中的描述

Rudin 数学分析 2.41 定理描述了著名的 Heine-Borel 定理，又称 Heine-Borel 覆盖定理。

如果 R^k 中的一个集 E 具有下列三个性质之一，那它就具备其他两个性质：

（a）E 是闭且有界的（closed and bounded）；

（b）E 是紧的（compact）；

（c）E  的每一个无限子集在 E 内有极限点。

非常环保的 Rudin 书，在给出这个定理之前，精巧地编排了几个定义和定理，然后轻松证明了 Heine-Borel 定理，确实给我们这些爱好者很大的疑惑。

其中性质（b）可以展开来说（很多教科书也是单独写出来的），是指：若有界闭集 E 被一组无穷多个开集整体覆盖，则能被这些开集中的有限多个覆盖。


Heine-Borel 定理

“为什么会这里讲这个概念？这个概念有什么用呢？给了一大堆术语定义就为了证明这个？”网友说：「Rudin 之所以是一本好书，是因为它的枯燥迫使你自己想出必要的解释，这是一项无可替代的宝贵练习。」

在这里，我希望整理一些资料，方便像我这种一开始学习就感到一头雾水的读者，从历史地观点看一些定理的发现和概念的发展。

博雷尔（Emile Borel）在 1894 年的 Phd 论文“Sur quelques points de la théorie des fonctions（关于函数理论的几个要点）”中证明了以下引理：

Borel 引理：如果在一条直线（指有界区间）上有无限多个子区间，使得直线上的每一点都至少在其中一个区间的内部，那么可以从给定的区间中有效地确定出有限个区间，它们具有相同的性质（即直线上的每一点都至少在其中一个区间的内部）。

但站在 100 多年后的今天（比较客观地），发现 Heine-Borel 定理其实是两个在历史上相互交织的理论的直接推论，它们都早于 1895 年的 Borel 引理。


Eduard Heine 和 Emile Borel 和他们的定理

前身之一：Bolzano-Weierstrass 定理

首先需要讲的是由 Bolzano 和 Weierstrass 等人提出的一些关于实数线的基本性质，它源于对定义在实数序列上的函数的研究。

1817 年，在波希米亚独立开展数学研究的波尔查诺（Bernard Bolzano ,1781-1848），企图证明 （现在我们称之为介值定理）：

Bolzano 介值定理：如果 f(x) 在 x=a 处为负而在 x=b 处为正，则 f(x) 在 a 和 b 之间有一个零点。

他（对固定的 x ）考虑函数序列 F1(x) , F2(x) , F3(x) , … , Fn(x) , … 。

而且加入了这个引理：对于任意数值 r ，如果 n 充分大，可使差数 Fn+r(x)-Fn(x) 都小于任何给定的正数，则存在一个固定的量 X ，使得这个序列愈来愈靠近 X ，而且确实如人们所想要的那样靠近 X 。

Bolzano 证明该引理的思路是使用区间二分法，把有界区间分为两个部分，而选择包含无穷多个元素的那一部分，重复该步骤，直到得到给定实数集的最小上界才停止，真正阐述了极限过程。

可以发现，Bolzano 还提出了（如今被称为实数的下确界性质）：

实数的下确界性质：如果一个性质 M 并不适用于变量 x 的所有值，但对于所有小于某个 u 的值，性质 M 成立，则总是存在一个量  U ，它是所有这样的量 u 的最大值。

虽然当年还没有实数系的理论（直到 1870 年代 Cantor 和 Dedekind 提出的实数定义），但这个引理已经涉及到了实数系的关键。

回到 19 世纪 60 年代，1877 年魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）应用 Bolzano 的理论贡献，证明了我们熟知的

Bolzano-Weierstrass 定理：对于任何有界无穷点集，存在一个点，使得该点的任何邻域内都有这无穷点集的点。

由于 Heine-Borel 定理是从「每个有界集都有上确界」这个假设推导出来的，而它反过来又蕴含 Bolzano-Weierstrass 定理，我们可以看到前者是后者等价的陈述，说明了实数集是完备的。

前身之二：连续性的一致性，有限覆盖

1904 年，Lebesgue 在论文“Une propriété caractéristique des fonctions de classe 1（第一类函数的一个特征性质）”指出，这个 Heine-Borel 定理意味着「对连续性的一致性有一个很好的证明」。

用他的话说：

设 f 是在 [a,b] 上所有点处都连续的函数。根据定义，[a,b] 中的每一个点都在区间 Δ 内，在这个区间上 f 的振幅小于 ε 。可以用有限个这样的区间覆盖 [a,b] 。设 L 是所使用的最短区间的长度。在每个长度为 L 的区间上，f 的振幅最多为 2ε ，因为这样的一个区间最多与 Δ 中的两个区间重叠。由此连续性是一致的。

其中提到的「一致连续性」，可以回顾到埃德华·海涅（Eduard Heine ，1821-1881）的一篇论文。

Heine 在柏林大学 PHD 学习期间，曾接受 Lejeune Dirichlet 指导，之后到哈雷大学任教（对，就是 Georg Cantor 所在的大学）。

在 Georg Cantor 和 Weierstrass 的思想的鼓舞下，埃德华·海涅（Eduard Heine ，1821-1881）定义了单变量或多变量函数的一致连续性，尔后又证明了在实数系的有界闭区间上的连续函数是一致连续的。

1872 年，在 Georg Cantor 和 Weierstrass 的思想的鼓舞下，他发表了一篇重要的论文“Die Elemente der Functionenlehre（函数论基础）”，巩固了分析学中的许多关键概念，其中就包括一致连续性。

论文中，Heine 定义了单变量或多变量函数的一致连续性，尔后又证明了在实数系的有界闭区间上的连续函数是一致连续的。

Heine 的方法引进且利用了下述定理：

设给定了一个闭区间 [a,b] ，以及位于 [a,b] 中的所有闭区间构成的一个可数无穷集合 Δ ，使得 a≤x≤b 中的每一点至少是 Δ 中一个区间的内点，（端点 a 和 b 可以看作是内点），则由 Δ 中有限个区间组成的一个集合具有同样的性质，即闭区间 [a,b] 的每个点至少是这个有限区间集合中的某一区间的一个内点。

可以看到，Borel 的方法与 Heine 所使用的方法是类似的。

这个定理最初是 Dirichlet 在 1852 年的讲座中证明的。然而，Dirichlet 的笔记直到 1904 年才发表，这或许可以解释为什么他没有因 Borel 引理的推广版本（现在称为 Borel 定理）而获得赞誉。

虽然 Heine 看上去貌似提出并证明了这个定理，但似乎库辛（Pierre Cousin , 1867-1933 ，是 Henri Poincaré 的学生）提出的一个引理，在很大程度上被忽视了。

1895 年，Cousin 在其论文“Sur les fonctions de n variables complexes（论 n 个复变量函数）”将 Borel 引理推广到了任意覆盖。

Cousin 定理：在平面 YOX 中，设 S 是由一条简单或复杂的封闭曲线所围成的有界连通区域；假设在 S 或其边界的每一点处都有一个以该点为圆心、半径非零的圆；那么总是可以将 S 划分为有限个足够小的区域，使得每个区域都完全包含在一个以  S  或其边界上适当选取的点为圆心的圆内。

上面提到的平面 YOX 就是 R^2 ，区域 S 用现代语言描述就是闭且有界的。

换句话说，如果对于一个闭且有界区域的每一点都对应一个有限邻域，那么该区域可以被划分为有限个子区域，使得每个子区域都包含在一个以该子区域内的点为圆心的圆中。

这个描述基本形成了我们现代的观点。

Heine-Borel 定理名称的由来

“你可以学习用世界上所有的语言说出这种鸟的名字，但当你学完后，你还是对它一无所知......所以让我们看看这只鸟，看看它在做什么，这才是最重要的。”—— 1981 年 Richard Feynman 接受 BBC 采访

1900 年，Weierstrass 的一个学生亚瑟·舍恩弗利斯（Arthur Schonflies ，1853-1928），注意到了 Heine 的工作与 Borel 的工作之间的联系。

Schonflies 也是第一个指出 Heine-Borel 定理同样适用于由不可数多个开集组成的覆盖，他把这个定理描述为 Borel 对 Heine 的一个定理的扩展，并将其命名为 Heine-Borel 定理。

海涅的名字与该定理联系在一起，是因为魏尔斯特拉斯的学生舍恩弗利斯注意到了海涅的工作与博雷尔的工作之间的联系。

这个名称在被威廉·亨利·杨（William Henry Young）在 1902 年的论文“Overlapping Intervals”中采用后，开始流行起来。

Lebesgue 对 Heine 的名字与这个定理联系在一起尤为恼火，他主张将其命名为 Borel-Schonflies 定理。

法国数学家保罗·蒙特尔（Paul Montel ，也是 Borel 的学生）和意大利数学家朱塞佩·维塔利（Giuseppe Vitali）质疑 Schonflies 对这个定理是否有特殊的贡献主张，他们将其称为 Borel–Lebesgue 定理，以认可 Lebesgue 在证明一般情形时的优先权。


Lebesgue 及其著作“Measure and the integral”

Borel 本人后来将其称为「测度论的第一个基本定理」，这个名称其实很有价值，可惜没有被广泛采用。

1904 年，美国数学家 Oswald Veblen（1880-1960）提出，Bolzano–Weierstrass 定理可由 Heine–Borel 定理推导得出，其关键都在于每个有界集都必定有上确界，但这恰恰是实数完备性的性质。

因此，有数学家称，这几个我们都很喜欢，要不就叫它“Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schonflies-Lebesgue定理”。哈哈～

参考资料

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Borel_theorem
[2]https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Cousin_(math%C3%A9maticien)
[3]Morris Kline.古今数学思想[M]. 张理京,江泽涵,孙树本等译. 上海科学技术出版社, 2002
[4]D.M. Bressoud. A radical approach to Lebesgue's theory of integration[M]. Cambridge University Press, 2008.
[5]Raman-Sundstrom M. A pedagogical history of compactness[J]. The American Mathematical Monthly, 2015, 122(7): 619-635.

亲切的桃子