$\huge\color{red}{今日三论\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}}$

春风晚霞

       方嘉琳先生在《集合论》133页给出了孤立序数和极限序数的概念，方嘉琳先生认为：有直前（直接前趋）的序数叫孤立序数。没有直前（直接前趋）的序数叫极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页定义3）。并指出有限序数中（除0外）皆为孤立序数，设$\xi$为序数，则形如$\xi+\eta$的序数也是孤立序数。而$\omega，\omega+\omega$等都是极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页9—10行）。
       在康托尔《超穷数理论基础》中，给出了一个重要的实正整数生成法则，$\overline{\overline{E_{\nu}}}=$$\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1$。这个法则亦称康托尔实正整数第一生成法则。不难看出这个法与皮亚诺公理的第二条是一致的。其实质都是根据前的数生成后边的数数。所不同的是皮亚诺公理第二条是的对像是“每一个确定的自然数”；而康托尔实正整数第一生成法则的对像是已生成的实正整数整体（即已生成的实正数的集合）。
       康托尔在该书的75页给出了有穷基数的无穷数列1，2，3，…，$\nu$，$\omega，\omega+1$，…，不难看出这个$\nu$就是处于极限位置的序数的极限，即是$\nu=\aleph_0$$=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$。康托尔认为实正整数“$\nu$既表示把一个个单位加上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18—19行），也就是$\nu=\overline{\overline{\{1，2，…，\nu-1，\nu\}}}$，因为$\nu$有直前$\nu-1$，所以$\color{red}{\nu是序数的极限，而不}$$\color{red}{是极限序数\omega!}$。根据普通自然 数集$\mathbb{N}=$$\{0,1,2,…，\nu-1,\nu\}$最原始的定义（表示事物个数或编号的数叫自然数），说无穷数$\nu=\aleph_0$是自然数（即表示事物的个数无限多r的数）一点也不为过！
       根据前面对数$\nu$的分析知道普通自然数集$\mathbb{N}$是由有限数和无穷数两大部分组成。亦即对于预先给定的，无论怎样大的自然数$\alpha$，$\mathbb{N}=\{n:n\le\alpha\}$$\cup\{n:n\>\alpha\}$。因此ChatGPT说【自然数集集$\mathbb{N}=\{1，2，3，4，…\}$是一个无限集，意味着它的元无限，但每个自然数都是有限的，我们可以一个接着一个地数出来，对于任何自然数n，我们能找到一个更大的自然数n+1，但这个过程永远不会达到一个无穷大的自然数】是不严谨的。因为【自然数集集$\mathbb{N}=\{1，2，…\}$是一个无限集，意味着它的元无限】，那么表示自然数集$\mathbb{N}$中元素个数的自然数也就是无限的。这个表示$\mathbb{N}$中元素个数的自然数就不是有限的。就是说$\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\aleph_0$就是无限的。普通自然数最原始的定义可是“表示事物的个数或编号的数叫自然数”（参见《辞海》自然数词条）。还有数学中的无穷大是集合，是大于预先给定的无论怎样大的正数E的所有数的全体，所以说“这个过程永远不会‘到达’一个无穷大的数”就不是业内人说的行话了。