\(\huge\color{red}{今日四论\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}}\)

春风晚霞

       根据自然数的【原始定义】自然数：也称“正整数”。用以表示事物个数或给事物编序的数，即1，2，3，…它是由1开始逐次加1而得到的。 (参见辞海自然数词条)，所以完全有理由说“表示集合中元素个数的数是自然数”！那么集合中元素的个数有哪些可能呢？当集合是空集时，集合中没有元素，这时表示该集中元素的个数是0；当集中元素的个数是有限正整数即集合是非空有限集时，元素的个数是有限正整数；当集合中元素的个数有无限多时（即集合是无限集时），元素的个数是无限数！由于自然数\(\mathbb{N}=\phi\)\(\cup\{有限集\}\cup\{无限集\}\)，所以表示无限数的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)、\(\aleph_0\)是自然数！所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n=\aleph_0\in\mathbb{N}\)!

春风晚霞

       【定理】： 若集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)，则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)
        【证明】：因为集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)(已知)
易证集列\(A_k=\{1，2.…，(k-2)，(k-1)，k\}\)单调递增。所以根据单调集列极限集的定义（如北大教材《实变函数论》P9定义1.8）有：
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1} ^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-2)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！
【证毕】