复数 ω 满足｜ω｜=5，有实数 λ＞1，使 ω,ω^2,λω 在复平面上成正三角形，求 λ

wintex

复数 ω 满足｜ω｜=5，有实数 λ＞1，使 ω,ω^2,λω 在复平面上成正三角形，求 λ

波斯猫猫

题：复数 ω 满足｜ω｜=5，有实数 λ＞1，使 ω,ω^2,λω 在复平面上成正三角形，求 λ.

思路：∵ 实数 λ＞1，且 ω和λω 共线，∴ 由条件有ω^2-ω=(λω-ω)(cos60°+isin60°) ,

ω-1=(λ-1)(cos60°+isin60°) . 令ω=5(cosθ+isinθ)，则5cosθ-1+5isinθ=(λ-1)(cos60°+(λ-1)isin60°，

即5cosθ=(λ-1)(cos60°+1，且5sinθ=(λ-1)sin60°，或(λ-1)^2+(λ-1)+1=25. 解得 λ=(1+√97)/2.

波斯猫猫

2025年5月16日

中午11:06
w - W =5( M -1)。
能需要代入验证：
入＝(1+y97)/2到左边的表达式，看
这里可能比较繁琐，但根据之前的时，三个边的长度已经被设置为相等
最终的答案是入＝(1+√97)/2。
分享
收藏
编辑
删除
更多

波斯猫猫

数 w 满足| w |=5，有实数入＞1，使 w , w ^2，入 E 三角形，求入．
，深度思考（ DeepSeek -R1﹣联网满血版671B)
√阅读全网76,991篇相关资料，精选其中的27篇
查看参考资料→
√已深度思考用时（226.44秒）
嗯，我现在需要解决一个复数的问题，题目是说复数 w 满足| w |=5，存在实 w 、w2、 Aw 这三个点在复平面上构成一个正三角形。要求求出入的值。好题的条件和要求。
首先，复数 w 的模长是5，所以它在复平面上位于半径为5的国上。接下来w2、 Aw 要构成正三角形。正三角形的特性是三个边长度相等，或者每两个点角度为60度或其倍数。这里可能需要用到复数旋或者向量的性质来分析。
我应该先国出这三个点的位置，不过可能更有效的方法是使用复数的几何性三角形的三个顶点之间的向量差应该满足某种旋转关系。例如，假设三个点时针顺序排列，那么从一个点到另一个点的向量可以通过旋转60度或﹣60度得
母亲殴打女儿致其死亡"：犯罪嫌疑人郑某某已刑拘
［数 w 满足： w …

波斯猫猫

题：复数 ω 满足｜ω｜=5，有实数 λ＞1，使 ω,ω^2,λω 在复平面上成正三角形，求 λ.

思路1(旋转法)：∵ 实数 λ＞1，且 ω和λω 共线，∴ 由条件有ω^2-ω=(λω-ω)(cos60°+isin60°) ,
                                                                    (为何不是λω-ω=(ω^2-ω)(cos60°+isin60°)？)

ω-1=(λ-1)(cos60°+isin60°) . 令ω=5(cosθ+isinθ)，则5cosθ-1+5isinθ=(λ-1)(cos60°+(λ-1)isin60°，

即5cosθ=(λ-1)(cos60°+1，且5sinθ=(λ-1)sin60°，或(λ-1)^2+(λ-1)+1=25. 解得 λ=(1+√97)/2.

思路2(定义法)：由正三角形的定义，有∣ω^2-ω∣=∣ω^2-λω∣=∣λω-ω∣，即∣ω-1∣=∣ω-λ∣=∣λ-1∣，

令ω=5(cosθ+isinθ)，则(5cosθ-1)^2+(5sinθ)^2=(λ-1)^2，且(5cosθ-λ)^2+(5sinθ)^2=(λ-1)^2.

两式相加化简得10(λ+1)cosθ=49-λ^2+4λ，两式相等得10cosθ=λ+1  (∵ λ＞1).

∴ (λ+1))^2=49-λ^2+4λ，解得 λ=(1+√97)/2.