素数定理的起源 —— 勒让德与高斯

luyuanhong

素数定理的起源 —— 勒让德与高斯

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 05 月 07 日 17:32  陕西

素数一直是人们长期以来着迷的对象。这些是除了  和它本身之外没有其他因子的正整数：

           2，3，5，7，9，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，……



关于素数的一个关键事实是：每个自然数都可以写成素数的乘积，并且这个乘积在因子的排列顺序上是唯一的。欧几里得在公元前 300  年证明了素数有无穷多个，见《几何原本》第九卷，第 20 命题。像欧几里得的所有证明一样，这个证明是几何性的，用线段来代表数字，但它是有效且可以辨认的。现代的证明如下所示：



勒让德关于素数分布的看法



高斯关于素数分布的看法



高斯统计整百区间的素数分布




高斯遗稿中的素数表（1876）



素数定理









MathSpark

wangyangke

九十年代后期，我并不知道有素数定理；在慢慢的闭门造车的摸索推演中，得出了一个结论：当素数由P附近变换到KP附近时，区域的素数平均间距的极限增量是K的对数logK;2003年，在西藏大学，将此结论对西藏大学数学系娄源冰老师展示，才知道：当素数由P附近变换到KP附近时，区域的素数平均间距的极限增量是K的对数logK,这就是素数定理。

ysr

x/ln(x)表示的是整数x内的素数个数的下限，这就是素数定理。其实，就是个下限公式，数学家已经用多种方法证明了，所以，叫定理。

wangyangke

在我的思维中，正整数、素数因下面的原因而与对数牵上关系

白新岭

在主楼提到的划分区间，对某一问题进行分析的方法。有思考的人，或许都会去做，不一定是效仿前人，或者在用之前，已经浏览，阅读过，关于这方面的内容。
我在研究最密三生素数的中项（首尾素数之和/2）和分布的时候就用到了，上述方法，我当时是按1万为一个区间的，其实那样的量级还是不够的，因为最终是在3千万左的区间，才没有特例（不算反例，因为合成方法论明确指明，在小范围内是有特例的，即从理论有解的，在实际中不一定就有解，当理论值超过一个量级时，一般情况下，不再有特例）。
     最后的100个区间中，特例从多到少，再到无，展示了其变化过程，从结果看，也证实了自己的预测。

wangyangke