孬种搅局04\(\Huge\textbf{定理}:\,\underset{n\to\infty}{\lim}n\not\in\mathbb{N}\)

elim

从分析的观点看这个定理是显然的：因为\(\{n\}\)
非柯西序列, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)不存在, 当然就不是自然数.
这个定理是要指出，在更底层的集论意义下
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\) 仍然不是自然数. 在集论中自然数由递
归式给出 \(\small 0=\phi, n+1=n\cup\{n\}=\{0,\ldots,n\}\)
自然数间的大小关系等价于真扩集/子集关系.
由此即知自然数序列作为严格增序列的极限是
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty\{0,\ldots,n\}=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\).
这里第一个等号从集合升列的极限的集论公式
得到，最后一个等号由上确界及自然数的集论
序关系给出．由于\(\mathbb{N}\)没有最大元，其任何上界
都不能是其成员(不能是自然数)．
【定理】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\) 的以上论
\(\quad\)证以皮亚诺公理为据. 自然数的集论表达式,
\(\quad \mathbb{N}\)无最大元论断需要全部皮亚诺公理支撑．

【注记】康托的基数理论及序数理论是对皮亚
\(\quad\)诺的自然数理论从有穷基数全体向一般基数,
\(\quad\)从有限序数全体向一般序数的扩展. 皮亚诺
\(\quad\)意义下的自然数全体是\(\mathbb{N}\). 一切不在\(\mathbb{N}\)中的元
\(\quad\)素必有不合皮亚诺公理之处. 康托从来没有称
\(\quad\)他的超穷数为自然数. 也没有任何书著称\(\mathbb{N}\)含
\(\quad\)非有穷元素．

elim

楼上定理的约简版
【定理】\(v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.\)\(\\\)
【证明】据皮亚诺公理, 若\(v\in\mathbb{N}\), 则其后继\(m\)亦然．
\(\qquad\quad\)得矛盾 \(v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square\)
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．

春风晚霞

       从elim先生2025-5-18 06:39所发帖子的12行\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{0，1，…n\}\)\(=\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)和第17行【定理】\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)立得【定理】的表达实质是\(\mathbb{N}\notin\mathbb{N}\)!所以，elim先生自证了所给命题\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)是个伪命题！另外皮亚诺意义下的自然数全体是康托尔实正整数集，由于冯\(\cdot\)依曼自然数定义中\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\mathbb{N}\)是一个确定的数，根据皮亚诺公理第二条“每一个确定的自然数\(a\)，都具有确定的后继数\(a' ，a'\)也是自然数”,所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的后继\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)也是自然数。是的，康托从来没有称他的超穷数为自然数。但康托尔又在什么地方说了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是自然数呢？