孬种搅局03$\Huge\textbf{定理}:\,\underset{n\to\infty}{\lim}n\not\in\mathbb{N}$

elim

从分析的观点看这个定理是显然的：因为$\{n\}$
非柯西序列, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$不存在, 当然就不是自然数.
这个定理是要指出，在更底层的集论意义下
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$ 仍然不是自然数. 在集论中自然数由递
归式给出 $\small 0=\phi, n+1=n\cup\{n\}=\{0,\ldots,n\}$
自然数间的大小关系等价于真扩集/子集关系.
由此即知自然数序列作为严格增序列的极限是
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty\{0,\ldots,n\}=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}$.
这里第一个等号从集合升列的极限的集论公式
得到，最后一个等号自然数的集论序关系约定
及上确界定义给出. 由自然数的集论构造, 自然
数皆$\mathbb{N}$的真子集，故$\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}$.
【定理】$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}$ 的以上论
$\quad$证以皮亚诺公理为据. 自然数的集论表达式,
$\quad \mathbb{N}$无最大元论断需要全部皮亚诺公理支撑．

【注记】康托的基数理论及序数理论是对皮亚
$\quad$诺的自然数理论从有穷基数全体向一般基数,
$\quad$从有限序数全体向一般序数的扩展. 皮亚诺
$\quad$意义下的自然数全体是$\mathbb{N}$. 一切不在$\mathbb{N}$中的元
$\quad$素必有不合皮亚诺公理之处. 康托从来没有称
$\quad$他的超穷数为自然数. 也没有任何书著称$\mathbb{N}$含
$\quad$非有穷元素．


楼上定理的约简版
【定理】$v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n =\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}.$$\\$
【证明】据皮亚诺公理, 若$v\in\mathbb{N}$, 则其后继$m$亦然．
$\qquad\quad$得矛盾 $v=\sup\mathbb{N}\ge m=v+1>v.\quad\square$
【注记】自然数集的上确界不小于任何自然数．

春风晚霞

       由elim先生 2025-5-18 11:58所发新帖第8行：$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{0，1，…n\}$$=\mathbb{N}=sup\mathbb{N}$和第13行：【定理】$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}=sup\mathbb{N}$$\notin\mathbb{N}$立得$\mathbb{N}\notin\mathbb{N}$!所以，elim先生自证了所给命题$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=sup\mathbb{N}$$\notin\mathbb{N}$是个伪命题！另外皮亚诺意义下的自然数全体是康托尔实正整数集 .由于冯$\cdot$依曼自然数定义中$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\mathbb{N}$是一个确定的自然数 .根据皮亚诺公理第二条“每一个确定的自然数$a$，都具有确定的后继数$a' ，a'$也是自然数”,所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的后继$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1$也是自然数。类此$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+2$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+3$，……都是自然数 .是的，康托从来没有称他的超穷数为自然数。但康托尔又在什么地方说了$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$不是自然数呢？

elim

1）集论是数学基础,  从归纳集$U$的本征性质:
$\quad\;\;(\phi\in U)\wedge(\forall u\in U(u\in U\implies u\cup\{u\}\in U))$
$\quad\;\;$结合无穷公理确立的最小归纳集$S$, 后继映射
$\quad\;\,\;s: n\mapsto n\cup\{n\},$记$\phi$为$0,\;s(n)$为$n+1$,并记
$\quad\;\,\;m\subsetneq n$为$m< n,$致使$S$成为满足皮亚诺公理
$\quad\;\;$的良序构造, 记所论$S$为$\mathbb{N}$, 其元素为自然数.
$\quad\;\;$皮亚诺给出自然数的定义, 冯诺伊曼构造自然
$\quad\;\;$数(确立$\mathbb{N}$的存在, 给出了$n(\in\mathbb{N})$的集论结构);
$\quad\;\;$康托对$\mathbb{N}$作了非自然数的基数、序数序扩张.
2）从自然数的冯诺伊曼构造知道, 分析意义下不
$\quad\;\,$存在的$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$在集论意义下收敛(上下极限等)
$\quad\;\;$经简单计算立得$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\sup\mathbb{N}=\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}$
3）归纳集$\mathbb{N}$的最小性是自然数皆有限数的根源．
$\quad\;\,$令$\mathbb{N} ’=\{m\in\mathbb{N}:\;m<  v\}$($v$为最小无穷数)
$\quad\;\,$易见$\mathbb{N}’$是归纳集．皮亚诺公理第五条称$\mathbb{N}’$
$\quad\;\;\,=\mathbb{N}$即$\mathbb{N}$只含有限数(当然有限数有无穷多).
$\quad\;\,\;\mathbb{N}$没有归纳真子集．皮亚诺第五条表明$\mathbb{N}$是
$\quad\;\,$最小归纳集．


只有集论白痴才畜生不如地啼$\mathbb{N}\not\in \mathbb{N}$不自洽的猿声.

春风晚霞

       我不管你是翘楚还是白痴，更不管你的逻辑是底层逻辑还是顶层逻辑。你的【$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}=$$sup\mathbb{N}$$\notin$$\mathbb{N}$】就是混帐逻辑！现证明$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}$$\ne\sup\mathbb{N}$!
       【证明:】根据冯$\cdot$诺依曼自然数构成法后继的定义：对于集合$x$称集合$x\cup\{x\}$为$x$的后继 （参见清华大学张峰 陶然著《集合论基础教程》P84页定义5.2.1） .$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\{0,1,2,…（\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1),\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1$,所以elim先生的【$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}=$$sup\mathbb{N}$$\notin$$\mathbb{N}$】逻辑就是混帐逻辑！当然我们可根据单增集列$0=\phi$，$1=\{0\}$,$2=\{0,1\}$，…$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\{0,1,…(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1)\}$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1=\{0,1,…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}$，证得$sup\mathbb{N}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+2$!【证毕】
       故此只有畜生不如的白痴才会认为$\mathbb{N}\notin\mathbb{N}$是自洽的！