利用排列组合拓展解决线性不定方程的解组数

独舟星海

一般对线性不定方程的解组数很少有人研究（比起线性不定方程的通解来说），只于解决方法就更少了。
今天的话题主要就是怎样利用排列组合知识。来解决线性不定方程的解组数问题。我们先看一些简单问题，比如x+y+z=100在正整数中有多少组解？x+y+z+m=1000又有多少组解呢？（是在正整数范围内），我们学排列组合知识以后，肯定遇到过这方面的问题，只不过侧重点不同，没有向这方面去想，老师肯定给你讲过挡板法，把100个物体排列成一排，那么它就有99个空挡（空隙），我们把这99个空挡放置2块挡板，则可以把这100个物体分成有序的3组，用未知数分别对应着前中后三个位置上的物体数，则每一组分法正好是线性不定方程的一组解，那么总放挡板的方法就是线性不定方程的正整数解组数。同理，可以把1千个1排列成一排，那么它有999个空隙（在1与1之间），在这999个空隙中放置3块挡板，就把这1000个1分成有序的4组（堆），每组对应一个未知数，所以它的放置挡板的方法也是后一个线性不定方程的正整数解组数。待续

独舟星海

上面只是一个引子，现在我们解决更深的问题，例如在不被5整除的正整数集合中，x+y=n，x+y+z=n，x+y+z+m=n的正整数解组数问题，如何解决呢？
当然按照数学研发论坛那样去慢慢分析，去做也能获得结果（他的方法就是排列组合中的分类，分步，一一去做分析，但是没有一定功底是无法获得正确结果的，势必丢三落四diusanlasi）。那么，有没有其他的方法呢？有，就是我提出的合成方法论，它是个什么东东。
现在我就用合成方法论解决x+y=100正整数解组数问题（x，y要求不是5的倍数），我们可以先不考虑限制条件，则根据主楼的方法得：\(C_{(100-1)}^{(2-1)}=C_{99}^1=99\)

独舟星海

接着我们写出下一个不定方程的正整数解组数（x+y+z=100），为：\(C_{(100-1)}^{(3-1)}=C_{99}^2\);x+y+z+m=100的正整数解组数，为\(C_{(100-1)}^{(4-1)}=C_{99}^3\)。
这里的未知数的个数是组合数的上角码，而(n-1)是组合数的下角码，那么，把这个组合数用关于n的式子写出来，我们就明显看到它的正整数解组数是一个关于n的一元（j-1）次的多项式（它不是整式多项式），为什么要分析它的正整数解组数的表达式是什么形式呢？因为如果想用排列组合知识及待定系数法就必须知道它的正整数解组数的表达式是个什么东东，好有的放矢，现在我们知道了它的表达式是什么样的，就可以对它进行下一步操作了。既然是一个一元高次多项式，那么我们是不是就可以用待定系数法（解关于系数的方程组）来确定其多项式中的系数（常数）呢？这个问题显而易见。
      线性不定方程的正整数解组数的表达式是一个关于n的(j-1)次多项式，那么，它（指表达式）有j个系数需要待求出。