被误解的笛卡尔坐标、心形曲线……

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被误解的笛卡尔坐标、心形曲线……

原创  包彦禹  包彦禹老师  2015 年05 月 13 日 17:29  浙江



“笛卡尔比亚里士多德更危险，因为他显得更理性。”

这是伏尔泰给这位近代哲学奠基人的评价，他认为笛卡尔想创造一个宇宙。“他造出了一个哲学，就像人们造出一部小说；一切似真，一切却非真……是他那个时代最伟大的几何学家。”

但是，关于勒内·笛卡尔的误解也很多，尤其是被杜撰为“数学与爱情”的心形曲线，笛卡尔坐标系等数学成就。

01  爱睡懒觉的笛卡尔


笛卡尔出生地——法国拉海

笛卡尔一辈子都喜欢睡懒觉，这与他的童年有关。

笛卡尔 1596 年 3 月 31 日出生于法国拉海，父亲约阿希姆·笛卡尔是一名律师和地方法官，母亲珍妮·布罗沙尔也出身于这个类似贵族的阶层。五个兄弟姐妹中笛卡尔排行老三，在他出生 14 个月后，亲生母亲就因肺病去世。

肺病也传染给了笛卡尔，这可能是导致他从小就体弱多病，许多时间躺在床上的原因。

因为父亲工作繁忙，笛卡尔由祖母抚养长大。他天资聪颖，父亲很重视他的教育，称他为“小哲学家”，8 岁时便送他进入法国最有名望的拉弗莱什公学读书。


拉弗莱什公学

校方出于对他健康的关心，特许他早上可以躺到愿意去学校上课为止。就这样，笛卡尔在这所耶稣会学校学习了 8 年，这个从小养成的睡懒觉习惯伴随了笛卡尔一生。

02  读书得读世界之书


普瓦提艾大学

笛卡尔拉弗莱什公学完成中小学学业，16 岁毕业。在校前 5 年学习的是人文学科（拉丁语、希腊语、经典著作）、法语、音乐、表演、骑马、射箭等，后 3 年学习逻辑学（亚里士多德的三段论等）、一般哲学（亚里士多德的伦理学等）、物理学、数学、天文学及形而上学等。

1612 年，16 岁的笛卡尔毕业后前往父亲的雷恩市，后前往巴黎，18 岁离开离开贵族子弟们索居，沉浸于音乐。

社会实践 3 年后，19 岁的他遵父命进入普瓦提艾大学学习法律，一年后获得了法学学士学位和教会法及民法执照。因为当时的法国可以子承父业，接班当律师和法官。


拉芙莱什公学毕业档案和普瓦提艾大学毕业论文

尽管笛卡尔接受了很好的教育，但他仍然放弃了律师和法官的职业规划。因为他对学校教育并不满意，后来总结道：“我似乎觉得，学校教育的结果无非是越来越发现自己的愚昧。”

笛卡尔决定，要去读世界这本书，世界才是浩瀚的知识海洋！

在那个充满着瘟疫、教会极权统治和战争的年代，1617 年开始，他自费参军。服了四年兵役，参加过著名的白山战役。但笛卡尔从军主要从事的是文书和工程兵的机械设计工作，最重要的事并非战争，而是沉思，一个穿着军装的思想家。


白山战役

服役期间，他结识了众多的工程师、数学家、物理学家和神职人员，跟随多个部队辗转荷兰、奥地利、匈牙利等欧洲各国，既历练了自己，也从实践中学习了大量的哲学、物理、数学、气象学等知识。

向世界这本书学习，使得笛卡尔在接下来的 20 年里硕果累累。

03  笛卡尔的三个梦



笛卡尔著名的梦发生在 1619 年的 11 月 10 日与 11 日的晚间。

由于战事暂缓，投身天主教同盟军的笛卡儿独自一人睡在如暖炉般的营帐里，思绪天马行空地自由翱翔。



他说那晚一连做了三个梦。第一个梦是，笛卡尔被风暴吹到一个风力吹不到的地方；第二个梦是他得到了打开自然宝库的钥匙；第三个梦是他开辟了通向真正知识的道路。

笛卡尔一生并没有明确解读过他的三个梦，他在法兰克福时宣称，自己从梦中发现了一种可以解决任何算术和几何的方法，是否解析几何的思想不得而知。

梦境传达了他内心的焦虑与不安，后人有许多种解读，包括弗洛伊德。有人将它归结为忏悔之梦、转折之梦和指引之梦。



许多人更愿意这样去解读笛卡尔的梦：笛卡尔受到一只苍蝇在天花板上爬行的启发，很好奇如何用数字来描述苍蝇的位置。于是他决定选择天花板的一个角，从这只苍蝇到角两边的距离将得到两个数，这个数对就能准确地表示苍蝇在哪个位置。



这便是解析几何的思想基础。

同时，笛卡尔还意识到科学的基础是哲学，但他觉得当下哲学缺少确定性，他必须先建立哲学的确定性基础，才能构建一个新的数学世界，这将是一个艰巨的工程。

04  要想生活愉快，就得躲起来


笛卡尔在阿姆斯特丹的故居（Westermarkt 6 号，左）

笛卡尔一生喜欢独处，崇尚宁静的生活。他认为，要想生活愉快，就得躲起来生活。

而巴黎的朋友太多，且教会势力庞大，不能自由讨论宗教问题。1628 年，笛卡尔移居相对自由的荷兰。甚至在荷兰时，他也四处躲藏，经常变换住所，使用假地址。

如果我们去荷兰，你会发现笛卡尔的故居起码有十多处。有记载笛卡尔在荷兰改变居所 24 次，曾穿梭于 13 个住所之间。

但荷兰的 20 年，正是他思想迸发的 20 年。

从 1629 年到 1649 年，他创作了近代最伟大的哲学著作，包括：

《世界报》（1633 年）——为太阳系日心说辩护；

《方法论》（1637 年）——让妇女都能读懂哲学；

《第一哲学沉思录》（1641 年）——关于笛卡尔理论和上帝存在的讨论，这是他最著名的作品；

《哲学原理》（1644 年）——探讨身体与灵魂的关系在科学。

笛卡尔其它学科也著述颇丰。著作包括《几何学》、 《气象学》、《光学》和《灵魂的激情》等。

他追求隐居生活，一个索居的思想家。

05  挚友和反目成仇的“敌人”


The Correspondence of Marin Mersenne  马林·梅森 （1588–1648）

尽管笛卡尔喜欢隐居生活，但他却有很多朋友，尤其是那些杰出人物。只是他与朋友交往以书信为主，很少生活在一起而已。

朋友中有神交很久的梅森神父，自 1626 年两人结交，便开始论战放纵与怀疑，书信不绝，这给后来的哲学名著《第一哲学沉思录》奠定了基础，梅森则奠基了法国科学院。

笛卡尔也有为数不多的女性朋友——波西米亚公主伊丽莎白。伊丽莎白自幼由于父母的短暂统治被颠覆，9 岁便开始了流浪生活，后来成为黑尔福德修道院院长。她精通数种语言，对哲学、科学也颇有见地。两人于 1642 年相识，此后便一直书信往来。


伊丽莎白公主

公主认为笛卡儿是“灵魂的最好医生”，而笛卡儿则认为公主是唯一能够既理解数学又理解形而上学的有识之士，容貌则酷似专司美丽、温雅、欢乐的美惠女神。

但笛卡尔也有反目成仇的朋友。

一位是 22 岁参军期间结识的大他 8 岁的以撒·贝克曼。精通物理学和数学的贝克曼很快成为了笛卡尔亦师亦友的朋友，笛卡尔曾写信给贝克曼：你是将我从冷漠中唤醒的人。

但后来笛卡尔怀疑贝克曼窃取了他的研究成果。他曾就《音乐简论》和《论代数学》向贝克曼请教，后者私下抄了一份还给笛卡尔。贝克曼在笛卡尔出名后自诩为他的老师，但未得到笛卡尔的承认，并疏远了贝克曼。

另一位则是被笛卡尔骂为“爱吹牛的图卢兹胖子”的费马。


Pierre de Fermat y su último teorema, que tardó 358 anos para que lo ...

两人均出生于法官之家，1620 年笛卡尔思考光的折射时认识了费马。

后来同费马的争论也正由此而起。因为笛卡尔确定了折射定律，但给出的证明却是错误的。正直的费马指出了这个问题以及笛卡尔《几何学》上的错误，鸿雁传书的两人随即反目成仇。

包括“解析几何”的发明权之争。费马从方程到几何，而笛卡尔则从几何到方程；费马继承了阿波罗尼奥斯的工作，而笛卡尔质疑了阿波罗尼奥斯的工作，认为几何需要方程的力量。

发明谁先谁后，观点谁对谁错，好友成为仇人的故事，还发生在崇拜他的后来者牛顿和莱布尼茨身上。但牛顿和莱布尼茨微积分的发明正是传承了笛卡尔的思想。

类似的故事历史上比比皆是，是否知识分子学术上都有爱较真的通病呢？

06  “我思故我在”与“第一性原理”


Elon Reeve Musk, the Brilliant Man. - HubPages

马斯克的“第一性原理”耳熟能详，事实上也是笛卡尔哲学的传承。

在笛卡尔哲学里，他认为人是身体与心灵的结合。但身心存在着巨大的差异，心灵与身体是分离且不同的，人类的理性正是基于这种心灵与身体的区分。这就是笛卡尔的“身心二元论”。

笛卡尔哲学的核心是“怀疑”，他认为需要怀疑世界的一切。这样的思想也是西方哲学的核心，自古希腊的柏拉图开始，西方哲学就倡导怀疑，如柏拉图认为“学习就是质疑权威”。

笛卡尔继承了柏拉图和亚里士多德的哲学思想并创新了它。于是人们质疑笛卡尔：你是否怀疑自己的怀疑呢？

名句“我思故我在（Cogito, ergo sum.）”便由此而来。“我思故我在”可分“我怀疑”、“故我思”、“故我在”三个部分，意指我们只要怀疑，就不会怀疑自己的存在。

“第一性原理”正是这一哲学思想的产物。马斯克怀疑火箭发射不会有这么高的成本，他计算了发动机所需原材料等成本，进而认为完全可以造出比 nasa 低廉得多的火箭，进而把火箭的发射成本降低到原先的上百分之一，助力了他的火星梦。

西方文明重质疑，喜欢追寻事物的本源；而河谷文明重实用，为生存而斗争传承着功利；两者孰好孰坏，也许永无定论。正如当下的东西方之争，互相学习、相互融可能是分歧的解决之道。

07  笛卡尔坐标系绝非直角坐标系


《方法论》附录《几何学》片段

创立解析几何有可能是笛卡尔的无心插柳之举，它源自笛卡尔的哲学著作《方法论》的三个附录之一《几何学》。《方法论》原名为 Discours de la méthode pour bien conduire sa raison , et chercher la véritédanslessciences ，全名是《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》，笛卡尔以几何为例表达了方法的实质，其中包含了解析几何的基本思想。从这个角度看，解析几何是笛卡尔哲学思想的产物。

因为笛卡尔质疑阿波罗尼奥斯的成果，认为单纯的几何学研究是不足的，需要数形结合，几何需要方程的力量。

他相信方程能够解决世界上的所有问题。于是从构成图形曲线的点出发，用数对表示点。在这一思想指导下，亦可用方程描述曲线，《几何学》多个例子都是用来探讨建立曲线方程式的，类似用一种方程思想解决几何问题。

在他的《几何学》32 幅插图里，从未有直角坐标系的形象，也没有系统描述解析几何的原理。


《几何学》中文译本片段

更未出现坐标、坐标轴的概念，这是后来者莱布尼茨提出的。笛卡尔之后一百多年，才有了现代坐标系的雏形。

所以说，平面直角坐标系对于连负数都不愿承认的笛卡尔来说，还是一个遥远的故事。

但数学家普遍承认笛卡尔为解析几何奠基人。那是因为笛卡尔贡献了用一种方程描述曲线的思想。但将“笛卡尔坐标系”与“平面直角坐标系”混为一谈，显然是错误的。无奈这已经成为一个科普误区，且影响深远。



《几何学》如果一定要牵强附会上笛卡尔坐标系，那么它也只会是一个非直角的斜坐标系，且不会有二、三、四象限。就像上图，xyz 至多构建一个没有二三四象限的斜坐标系。

晦涩难懂的《几何学》里压根没有提及坐标系。

08  广告商的恶作剧——笛卡尔的爱心曲线

自誉为“水中贵族”的百岁山，创造了一个凄美的数学爱情故事：

1650 年，穷困落魄的笛卡尔在街头闲坐时，邂逅了热爱数学的克里斯提娜公主。公主对笛卡尔的才华深感钦佩，一见倾心。于是将他请入宫中，成为她的专属数学老师。

随着时间的推移，两人之间产生了深厚的情感。然而，恋情很快被国王发现，国王大怒，将笛卡尔逐回祖国，公主也被软禁。

回国后，笛卡尔因思念公主而病重。在临终前寄出了一封只有一个公式的信：

r = a(1-sinθ) 。

国王拿到信后，久久未解其中奥秘，于是将信交给了公主。

公主凭借笛卡尔教给她的知识，成功解开了公式，发现那是一个由曲线组成的心形图案，这个心形图案不仅代表了笛卡尔对公主的爱意，也成为了他们之间爱情的见证。


笛卡尔心形曲线解析式，笛卡尔心形曲线，笛卡尔心形线_大山谷图库

国王去世，克里斯蒂娜登基后立即派人四处寻找心上人。

无奈斯人已故，徒留她孤零在人间……

事实却是另一个模样。

笛卡尔凭借出色的才华名满欧洲。但他的哲学是理性的，反教会的经院哲学的。伽利略惨遭教会迫害的过程历历在目，笛卡尔在荷兰时也感受到了那份危险。

恰逢此时，笛卡尔收到了瑞典女王克里斯蒂娜的邀请，希望他到斯德哥尔摩担任其私人教师。为了寻求庇护，1649 年 10 月 4 日笛卡尔来到了斯德哥尔摩。

起初，克里斯蒂娜女王对笛卡尔的要求很少。然而，在他安顿下来一段时间后，她命令他做两件事：第一，整理好所有的文件；第二，整理学院的设计图。家庭教师成为了女王的私人助理。

笛卡尔凭借他的经验，对如何完成工作还是是得心应手的。1650 年 1 月，克里斯蒂娜女王开始要求笛卡尔给她上哲学课，从早上五点开始，持续约五个小时，每周上三天。


笛卡尔在斯德哥尔摩的居住地——西长街（Vasterlanggatan） ，距离女王宫殿的三王冠城堡不到 500 米

显然，22 岁的克里斯蒂娜是一位勤勉的女王，但“早起”对一辈子习惯睡懒觉的笛卡尔却是莫大的考验。笛卡尔身体羸弱，加上斯德哥尔摩的冬天特别寒冷，又不得不每天凌晨穿梭于住所和皇宫之间。


三王冠城堡

在1650 年 1 月 15 日写给布雷吉的信中，笛卡尔对他来瑞典的决定持保留态度。他觉得自己“不适应”，“斯德哥尔摩的冬天如此严酷！”不仅如此，信中还写道：“人们的思想在这里像水一样被冻结了”。这句话可能既是笛卡尔对天气的看法，也是对知识氛围的看法。



这是杜梅斯尼尔的油画，描绘的是瑞典女王克里斯蒂娜被宫廷成员簇拥着，聆听哲学家勒内·笛卡尔的讲学，孔代亲王、巴伐利亚公主伊丽莎白和梅森神父也在场。

哲学上，他与女王也有着很大的分歧。


克里斯蒂娜女王

2 月初，在给布雷吉写信后不到一个月，笛卡尔病倒了。他的病很快发展成严重的呼吸道感染。情况进一步恶化，于 1650 年 2 月 11 日凌晨去世，享年 53 岁。

但笛卡尔的侄女却认为他是被教会成员毒死的，在后来的传记作者访问时坚定认为教会成员毒杀了笛卡尔。因为去世前笛卡尔曾服用了一位教会成员的食物，之后便病倒。



这个画面从左到右的人物便是克里斯蒂娜、笛卡尔的侄女、笛卡尔。

但百岁山的爱情故事肯定是子虚乌有的。

其一，极坐标方程 r = a(1-sinθ) 产生的心形曲线，是极坐标下的结果。笛卡尔时代连坐标系也不明，更没有极坐标和极坐标方程；极坐标是他去世百年后雅各布·伯努利他们开始完善的，何来心形曲线？

其二，笛卡尔并不穷困，母亲去世时和父亲分家留给他的财产，就足够他一辈子衣食无忧。笛卡尔家产没有出售前的年收入就达六七千法郎，还有后来多产的著作等收入。笛卡尔经济上是富裕的，参军时有仆人陪同，受邀过去斯德哥尔摩也是如此，他还带上了侄女同行。

其三，很难想象一个 22 岁的年轻女王，能够爱上一位 53 岁的老头。

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包彦禹老师