数学有时候让事情变得更难

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数学有时候让事情变得更难

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 05 月 13 日 17:30  陕西

关于数学的运作方式，存在一些误解。第一个，或许也是最普遍的一个，就是数学让事情变得毫无必要地复杂。毕竟，它引入符号、公式和方程式来编码信息，而这些信息本来是可以自然而直观地处理的。例如，对称性和缩放等概念在视觉上是可以理解的，并且在自然界中无处不在——想想镜子中自己的倒影，或者花瓣的对称排列。然而，当这些概念用“群论”或“分形几何”等数学术语来表达时，就会变得相当令人生畏。



另一个误解是，数学总是通过公式和方程式中这种硬编码的信息来运作，然后系统地一点一点地对其进行分解，直到出现一个简洁、更简单的解决方案。有些人认为，揭示数学解决方案的唯一方法是逐层去除复杂性，就像雕塑家凿掉多余的石头，露出隐藏在岩石之下的基本形状一样。

事实上，数学比这种简化的叙述灵活得多。数学家常常故意让事情变得更难。不过，这种策略并非源于自虐。

这是一种非常巧妙的技术，将问题提升到更高的维度（有时甚至可以说是字面意义上的），以便利用更先进、更复杂的数学工具。通过利用这些更复杂场景的内在丰富性，看似棘手的问题也能揭示出令人惊讶且优雅的解决方案。

在今天这期故事中，我想向你们展示三个具体的数学问题，它们确实更容易让问题变得更复杂。这些例子凸显了拥抱复杂性如何能够带来更深刻的理解和更强大的洞察力。让我们开始吧！

一维高斯积分

这或许是维数提升与降维最著名的例子之一。我还记得第一次在大学的分析课上看到这个技巧的结果时，我惊讶得说不出话来，因为在那之前，我从未意识到积分可以以这样的方式处理。



这条曲线和对应的积分如下图所示。这个表达式非常重要，在诸如概率统计、量子力学等诸多领域中都有出现。直接计算这个积分非常复杂，因为诸如分部积分或变量代换等标准方法，在指数函数的特性面前并不能带来简化。所谓的“维数提升”策略 —— 也就是让问题变得更难 —— 实际上是通过考虑这个积分的平方来入手的。


高斯函数积分的可视化图像（蓝色曲线下方的青色区域）。



三角函数与复数的联系

正弦、余弦、正切等三角函数是几何的基石，并广泛应用于几乎所有科学领域，从天文学、机械工程、信号处理到机器学习。它们在描述周期现象、求解微分方程和分析波形中发挥着关键作用。

数学家和科学家们经常需要将更高阶的三角函数（如  sin(2a) 、cos(a+b) 等）化简为更基本的形式以简化表达式。幸运的是，由于这些函数都源自单位圆上的几何构造，所有三角函数在某种程度上都是相互关联的。这种联系产生了一系列相互连接的三角恒等式，形成了一个公式瀑布。





超球体的体积

一种极其流行的推广技术被称为 “n-化”（"n-ification"）——其核心思想是：将带有具体数值特征的问题，提升到未定变量的领域。比如，不是去解决一个关于 10 个对象的组合问题，而是考虑  n 个这样的对象（ n 是一个尚未确定的数量）；不是分析  10^23 个粒子的物理性质，而是考虑任意 n 个粒子的性质，然后再取极限：n→∞ 。

这种 “n-化” 技术在数学中如此普遍，以至于几乎不可能选出最具代表性的例子。然而，我认为它在几何学中尤其强大，特别是当我们希望理解超出三维世界的几何体属性时。

以计算球体积为例。我们都知道球体是什么样的、是什么感觉。从数学角度看，球体是一个完美对称的物体，它由所有距离某个中心点相等的三维（3D）点组成。

这个定义并不局限于三维世界。事实上，我们也非常熟悉所谓的 “二维球体” —— 也就是那些在二维平面中，与某个中心点等距的点的集合，比如在一张纸上画出的圆！同样地，我们可以将球的概念扩展到高于三维的空间。

在这种情况下，数学家们通常称这些对象为超球体。于是我们就可以拥有 4 维、10 维，甚至 1000 维空间中的球体。



虽然“超球体”这个概念听起来可能抽象而陌生，但它实际上在工程、科学和统计学中具有广泛的应用，尤其是在处理由多个参数张成的空间时。例如，我们可能需要最小化某些高维点到某个最优解的距离，这自然就引出了在这些高维参数空间中“超球体”的定义。

举个例子，设想我们以温度、压力、反应物浓度和流速作为变量，来考察一个化学反应器的能效。这四个参数定义了一个四维空间中的点。反应器的“理想”运行条件构成了这个超球体的中心，而系统当前的运行状态可以表示为该空间中的另一个点。两点之间的距离可以反映该系统离最优状态的接近程度。

在这样的多维空间中，超球体的概念可以帮助我们建模约束条件、优化系统，并可视化多个参数同时交互时产生的影响。





超平面与超球体的交集仍然是一个超球体，但维度更低。







总结

数学和人脑一样，是富有创造力且多面的。解决数学问题并没有唯一的方式。有时，我们可以用非常分析化的方法，将一个复杂的问题单调地分解为更小、更简单的部分，从而更容易处理。

但很多时候，这种“蛮力”技术并不起作用 —— 就像现实生活中一样，我们必须从不同的角度看待问题。

这就像是在试图解开渔网上一个顽固的结。我们拽啊拽，结果只会让它越收越紧。但如果我们把渔网平铺在桌面上，从上方俯视它，我们可能会发现隐藏的环路，并找到一个轻松解开的路径。

同样地，在数学中，退后一步，从更抽象或更复杂的框架中重新构想这个问题，可能会让原本不可见的解决方案豁然出现。

所以下次当你面对一个棘手的数学难题时，不妨“换个衣服”来打扮它吧！不断改变它的样貌，直到你找到那个最适合解决它的表达方式。有时，这场“伪装”会把你带入一个更复杂的世界；但也可能正是这个陌生的环境，提供了一个更容易切入、理解并解决问题的入口。

MathSpark