调和级数：为何一遍又一遍地发散？

luyuanhong

调和级数：为何一遍又一遍地发散？

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 04 月 30 日 18:16  陕西

如果你问我调和级数为何一遍又一遍地发散，我只能说你可以接着往下看。

最近我们在视频号里做了一期调和级数因而发散的视频，反响还可以，我们在视频里提到了这样一句话，证明调和级数发散有很多种方法，数学就是为了验证自己说的东西，因而有了今天这篇文章，我们会看到各种各样千奇百怪的方法，一遍又一遍地在诉说着调和级数因何而发散。



上古证明

Nicole Oresme 的证明可追溯到大约 1350 年。虽然这种证明在中世纪之后似乎曾经消失，但在现代数学中它的思想又强势回归了。


Nicole Oresme



变体证明



Pietro Mengoli 的证明

此证明是 Pietro Mengoli 提出的。他的证明可追溯到 17 世纪中叶。只不过我们改写了一下，更方便阅读一些。


Pietro Mengoli



单调有界的证明



练习题式的证明



Leonard Gillman 的证明

尽管有人说这个证明也来自 Honsberger ，但也有人将荣誉归于 Leonard Gillman 。


Leonard Gillman



Cusumano 的证明



Cohen 和 Knight 以及 Ecker 的证明



看图说话





好了暂时我们就展示这些证明，其实还有很多，如果你有可以评论区交流。

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