孬种搅局08$\huge\color{red}{\textbf{自然数理论的底层逻辑}}$

elim

1）集论是数学基础.  从归纳集$U$的本征性质:
$\quad\;\;(\small\phi\in U)\wedge(\forall u\in U(u\in U\implies u\cup\{u\}\in U))$,
$\quad\;\;$结合无穷公理确立的最小归纳集$S$, 后继映射
$\quad\;\,\;s: n\mapsto n\small\cup\{n\},$并记$\,\phi\,$为$\,0,\;s(n)$为$n+1$,
$\quad\;\,\;m\subsetneq n$为$m< n,$致使$S$成为满足皮亚诺公理
$\quad\;\;$的良序集, 记所论$S$为 $\mathbb{N}$, 称其元素为自然数.
$\quad\;\;$皮亚诺给出自然数的定义, 冯诺伊曼构造自然
$\quad\;\;$数(确立$\mathbb{N}$的存在, 给出了$n(\in\mathbb{N})$的集论结构);
$\quad\;\;$康托对$\mathbb{N}$作了非自然数的基数、序数序扩张.
2）从自然数的冯诺伊曼构造知道, 分析意义下不
$\quad\;\,$存在的$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n$在集论意义下收敛(上下极限等)
$\quad\;\;$经简单计算立得$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\sup\mathbb{N}=\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}$
3）归纳集$\mathbb{N}$的最小性是自然数皆有限数的根源．
$\quad\;\,$令$\mathbb{N} ’=\{m\in\mathbb{N}:\;m<  v\}$($v$为最小无穷数)
$\quad\;\,$易见$\mathbb{N}’$是归纳集．皮亚诺公理第五条称$\mathbb{N}’$
$\quad\;\;\,=\mathbb{N}$即$\mathbb{N}$只含有限数(当然有限数有无穷多).
$\quad\;\,\;\mathbb{N}$没有归纳真子集．皮亚诺第五条表明$\mathbb{N}$是
$\quad\;\,$最小归纳集．

elim

所论底层逻辑由主贴前六行给出. 余皆评注．
主站 1) 的末三行非常重要. 狭义地说关于数
集论仅研究序数及基数. $\mathbb{N}$ 既是有限序数全
体又是有限基数全体. 作为最小可数指标集，
$\mathbb{N}$也是集论研究的不可或缺的工具．
人面狮身兽是一个自明的概念, 但概念明确
不等于外延非空. 有了皮亚诺公理不等于自
然数严格地存在. 所以冯诺伊曼构造绝对重
要. 而冯诺伊曼构造的终极依据是无穷公理.
这条公理也引进了归纳集概念．
从代数学观点看, $\mathbb{N}$是源于集论的最简数系.
从分析观点看, $\mathbb{R}$是$\mathbb{Q}$的连续扩张, 而$\mathbb{Q}$是
$\mathbb{N}$的最小域保序扩张.

春风晚霞

       现行教科书对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$的定义都是明确自洽的 .如北大周民强《实变函数论》；吉林师大方嘉琳《集合论》；清华大学陈景良《近代分析数学概要》；复旦大学夏道行《实变函数与泛函分析》；…这些教材的定义都是明确一致的 。对于单调递增集列都有$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n$这种唯一的表达式。特别的对于单增集列：$A_1=\{1\}$，$A_2=\{1，2\}$，$A_3=\{1，2，3\}$，……$A_k=\{1,2,…k\}$，……自然也有$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=$$\mathbb{N}$。亦即$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…，n\}$$\color{red}{=}\mathbb{N}$ .红色等号表示“=”号两端的集合相等！根据两集合相等的充分必要条件，我们有$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$$\subseteq\mathbb{N}$且$\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n$。因为$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…n\}=$$\{1,2,…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}$，所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}$。 从而再次证得$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty$$\in\mathbb{N}$。

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-24 16:36
elim，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的定义无需我再给出，任何一本《实变函数论》教科书中均有它 ...

孬种被迫承认教科书 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\infty=\infty\pm 1$
因而 $\color{red}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}n}$ 反皮亚诺公理，不是自然数．

春风晚霞

       现行教科书对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$的定义都是明确自洽的，无论是数列限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a$；还是数项级数和$s= \displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=$ $\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ $\displaystyle\sum_{k=1}^n  u_n$；或者单调集列极限集的定义中的$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=$ $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{ \infty}A_n$或$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{ \infty}A_n$无不暗含或明示$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\in\mathbb{N}$！表达式$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty$中的$\infty$或被解读成“非正常实数”（参见华东师大《数学分析》上册P65页或被解读成“为论述方便和统一，允许函数取值$\pm\infty$”(参见周民强《实变函数论》P121页第13行)。所以无论是在分析数学还是在《集合论》中，或测度论中表达式$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty$都是合法的。尤其在皮亚诺自然数理论中，自然数n的基数和序数是一致的。所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$就是序号为$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$且取值也是$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的那个确定的自然数。如果说分析数学中的$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$只是暗含$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$是自然数的话（否则表示$\{a_n\}$的项数的数$n\to\infty$也就没有任何数学意义！）那么《集合论》或自然数理论中的$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$就是明示$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$是自然数了！
       为反对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$是自然数（即$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N})$，elim提出如下“歪理”：
       ①、【因无穷操作无法用有限操作定义, 用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义.一般地说,  极限的定义本质上不能是构造、计算性的, 只能是非构造、分析性。】
       用有限操作定义无限操作这是现代数学（或称现行数学）最基本的操作。如求数项级数的和的操作，我们总是先求数项级数的前n项和：$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k$，再根据极限理论，用有限操作来定义无限操作$s=u_1+u_2+u_3+…+u_k+…$$=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k$；又如在求无穷递减集列的极限集的无限操作过程中，我们总是先求有限递减集列的有限集$\displaystyle\bigcap_{k=1}^n a_k$，再用有限操作的定义无限操作$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=$$\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}a_n$的；再如在皮亚诺自然数理论中，我们也是先用有限操作定义确定的有限自然数k的后继k+1是自然数，再根据有限操作定义无限自然数$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)+1$的；注意在皮亚诺公理中用有限操作定义无限操作的逻辑根据是皮亚诺公理的第二条“每个$\color{red}{确定的自然a都有一个确定的后继a’=a+1,}$$\color{red}{a’也是自然数}$。春风晚霞逆用皮亚诺公理：因为$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}$(已知)，所以$(v-1)\notin\mathbb{N}$(否则$v\in\mathbb{N}$，Peano axiom第二条)并非用无限操作定义无限操作。故elim把逆用皮亚诺公理说成是【用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义】是故意装疯卖傻。你不知如何从$v-3到k+1$的爱徒倒是有可能没有弄懂(或根本不知道)皮亚诺公理！
       ②【冯$\cdot$依曼自然数构造，每个自然数皆为$\mathbb{N}$的子集, 若$\mathbb{N}$是自然数, 则其后继$U$也是自然数. 于是得矛盾$\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}$】
       elim的这段陈述是对冯$\cdot$诺依曼自然数定义屈解：冯$\cdot$诺依曼自然数定义中的$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$$=\{0,1,2,…(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n-1)\}$的“=”两端要么同时是数，要么同时是集合。“=”左边的“数”（或集合）是右边的“数”（或集合）的后继。若两边同时为“数”，则表明无穷自然数$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$是无穷自然数$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=1$的后继，若两边同时为集合，则表示$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n=0}^{\infty}n$是集合$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)=$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{n-1\}$的后继！故此elim的【每个自然数皆为$\mathbb{N}$的子集】是对冯$\cdot$诺依曼的亵渎。而$\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}$或$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}=$$sup\mathbb{N}$$\notin\mathbb{N}$便是亵渎冯$\cdot$诺依曼自然数定义造成的恶果！
       ③、因为【$\mathbb{N}$没有最大元】，所以【$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}$!】
       很明显elim的这段陈述是错误的。其“底层逻辑”的错误在于根本混淆无穷大与最大的区别。一般地讲$\infty$满足$\infty=\infty\pm j$这一性质，而“最大”没有“最大=最大$\pm j$这一性质！所以，所以用【$\mathbb{N}$没有最大元】来论证$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}$的“底层逻辑”确实是“混帐逻辑”！
       总之elim回避明确定义 lim n，不敢面对 lim n 的问题的事例还多，其混帐的“底层逻辑”是他歪解$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$的底气。产生的各种“臭便”是其“底层逻辑”造成的恶果！行文至此关注该话题的网友自然知道，究竟是哪个孬种不敢面对$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$的问题了！

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-27 08:56
命题：若$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}$，则$\mathbb{N}=\phi$
【证明:】
...

自然数理论的底层逻辑就是冯诺依曼构造.不是孬种
可以理解的，更不是孬种能够推翻的.
对无穷集合, 计数只能是其基数. 因无穷集必有与之
等势的真子集. 对无穷集而言，其计数(基数)不满足
皮亚诺公理导出的自然数序关系及算术法则，例如
n < n+1 对无穷基数 n 不成立. 所以无穷基数皆非
自然数. 而自然数皆有限基数故而是有限自然数.
蠢疯白痴身份被坐实, 孬贼船漏不打一处来

春风晚霞

       冯$\cdot$诺依曼自然数构成法$u+1=u\cup\{u\}$的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：“=”的左边是“=”右边的后继。等式$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n$是集合等式。而对$n\in\mathbb{N}$显然亦有$n=\{0,1,2,…\}$的“=”则表示集合n是集合$\{0,1,2,…(n-1)\}$后继，即集合$\{0,1,2.…，n\}$是集合$\{0,1,2,$$…(n-1)\}$的后继。虽然集合$\{0,1,2,$$…(n-1)\}$$\subsetneq\mathbb{N}$,但集合$sup\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=$$\mathbb{N}$ .所以没有$n<\mathbb{N}$之说(数与集合的关系只有$\in$或$\notin$两种情形，而无“<”、“>”关系）。当然也就更没有$\mathbb{N}$$\subsetneq$$\mathbb{N}$之理！因为集合$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}$ ，所以$(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$$\subseteq\mathbb{N})$$\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)$（两集合相等的充分必要条件）. 所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}$ .