f 为实系数多项式，试证：f(f(x))-x 可被 f(x)-x 整除

wintex

Future_maths

\(p\left( x\right)=f\left( x\right)-x\)的零点为\(x_0\)，即\(f\left( x_0\right)-x_0=0\)
\(q\left( x\right)=f\left( f\left( x\right)\right)-x\)在\(x=x_0\)的值为\(q\left( x_0\right)=f\left( f\left( x_0\right)\right)-x_0=f\left( x_0\right)-x_0=0\)
\(p\left( x\right)\)的零点就是\(q\left( x\right)\)的零点，\(\therefore q\left( x\right)\)被\(p\left( x\right)\)整除。

wintex

Future_maths 发表于 2025-5-25 09:25
\(p\left( x\right)=f\left( x\right)-x\)的零点为\(x_0\)，即\(f\left( x_0\right)-x_0=0\)
\(q\left( x\ ...

數學歸納法可以証嗎，請問Future_maths老師

luyuanhong

上面第 2 楼中的证明，看来很有道理，但是有一个漏洞：没有考虑到重根的问题。

例如：设 p(x)=(x-x0)^2 ,q(x)=x(x-x0) 。

x=x0 是 p(x)=(x-x0)^2 的零点。

用 x=x0 代入 q(x)=x(x-x0) ，得 q(x0)=x0(x-x0)=0 ，x=x0 也是 q(x) 的零点。

但是，我们不能说，q(x)=x(x-x0) 能被 p(x)=(x-x0)^2 整除。

下面是考虑到重根问题的一个更完整的证明：