素数近似公式判断，素数判断，求证:t=p

yangchuanju

AI分析不一定完全正确
在AI智能搜索系统中输入太阳命题
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
2a>c>a，c≠a+2，整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，p>0，
求证：c=p

很快AI给出AI智能回答（已重排）
根据给定的条件和方程，我们可以逐步解析问题并求解。
首先，我们有以下方程和条件：
$a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc=ac$
$2a>c>a$
$c≠a+2$
$b$是非零整数
$c$是大于1的奇数
$a$是大于2的素数
$p>0$
我们先简化方程：
[a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc=ac]
将所有项移到方程的一边：
[a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc-ac=0]
提取公因式$ac$：
[ac(ac-a^2-c+2ab-bc-b-1)=0]
由于$ac≠0$（因为$a$和$c$都是非零整数），我们可以得到：
[ac-a^2-c+2ab-bc-b-1=0]
接下来，我们根据条件逐步求解：
$a$是大于2的素数，可能的值有3,5,7,11,13,…
$c$是大于1的奇数，可能的值有3,5,7,9,11,…
$2a>c>a$
$c≠a+2$
我们尝试一些可能的值：
如果$a=3$，则$2a=6$，所以$6>c>3$。可能的$c$值为5。
检查$c=5$是否满足$c≠a+2$：5≠3+2，满足条件。
【附注】5本就等于3+2，AI判定为5≠3+2，导致以下给出的结论不再正确。
代入方程：$3×5-3^2-5+2×3×b-5b-b-1=0$
简化：$15-9-5+6b-5b-b-1=0$
进一步简化：$0=0$，方程成立。
因此，当$a=3$和$c=5$时，方程成立。此时$b$可以是任何非零整数。
综上所述，满足条件的解为：
$a=3$
$c=5$
$b$是任何非零整数
这些值满足所有给定的条件。
【附注】太阳命题要求证的是c=p，AI不明白是什么意思，不予求证。

yangchuanju

深度思考
[条件分析]
1.变量范围：
素数a>2
奇数c>1，且2a>c>a，c≠a+2
整数b≠0
2.方程：
a^2*c^2-a^3*c-a*c^2+2a^2*bc-ab*c^2-abc=ac
[方程化简]
1.移项并提取公共因子：
b*(2a^2*c-a*c^2-ac)=-ac*(ac-a^2-c-1)
2.解出b：
b=-(ac-a^2-c-1)/(2a-c-1​)
[枚举分析]
1.尝试a=7：
c范围：7<c<14，奇数且c≠7+2=9
符合的c：c=11
2.代入计算b：
分子：7*11-7^2-11-1=16
分母：2*7-11-1=2
b=-16/2=-8
3.验证方程：
代入a=7,c=11,b=-8，方程等式成立。
[唯一解]
解：
a=7,c=11,b=-8
满足所有条件：
2a=14>c=11>a=7
c=11是奇数，且c≠a+2=9
b=-8是非零整数
【附注】AI智能系统经过深度思考，并通过枚举分析，在得到个别素数解后，又错误地给出太阳命题只有唯一素数解；且未给出反例a=19,b=-58,c=33（合数）。

yangchuanju

a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac的整数解                                       
a        b        c        左        右        c素性
5        -6        8        40        40        合
7        -8        11        77        77        素
7        -22        12        84        84        合
11        -12        17        187        187        素
11        -78        20        220        220        合
13        -14        20        260        260        合
13        -53        23        299        299        素
13        -118        24        312        312        合
17        -18        26        442        442        合
17        -103        31        527        527        素
19        -20        29        551        551        素
19        -58        33        627        627        合
23        -24        35        805        805        合
23        -93        41        943        943        素
29        -30        44        1276        1276        合
31        -32        47        1457        1457        素
31        -94        54        1674        1674        合
……
尽管太阳先生已经宣布命题错误，还是需要认真地研究一番，研究透彻，找到错在哪里；
该命题将条件b≠0改为b>2，则就没有反例存在了；
不过此时也就没有任何素数解了；
若再去掉c≠a+2的规定，则太阳方程就变成一个正确命题——
世界上的第二个多项式素数公式诞生了，不论b取任何大于2的正整数，c总是素数5。

yangchuanju

AI系统不理解“求证：c=p”是什么意思，不予求证，改为“请证明c是素数”——
已知：a^2*c^2-a^3*c-ac^2+2a^2*bc-abc^2-abc=ac，
2a>c>a，c≠a+2，整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，
请证明c是素数。

AI智能回答
根据题目给出的条件，我们需要证明给定的等式在特定条件下成立。首先，我们整理一下已知条件：
$a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc=ac$
$2a>c>a$
$c≠a+2$
$b$是非零整数
$c$是大于1的奇数
$a$是大于2的素数
我们先从等式入手，尝试简化等式：
[a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc=ac]
将等式左边的所有项移到右边：
[a^2c^2-a^3c-ac^2+2a^2bc-abc^2-abc-ac=0]
提取公因式$ac$：
[ac(ac-a^2-c+2ab-bc-b-1)=0]
由于$ac≠0$（因为$a$和$c$都是非零整数），我们可以得到：
[ac-a^2-c+2ab-bc-b-1=0]
接下来，我们利用已知条件来验证这个等式是否成立。
$a$是大于2的素数，因此$a$至少为3。
$c$是大于1的奇数，且$2a>c>a$，因此$c$可能的值为$a+1$或$a+3$（因为$c≠a+2$）。
我们分别考虑$c=a+1$和$c=a+3$两种情况：
情况1：$c=a+1$
代入$c=a+1$：
[a(a+1)-a^2-(a+1)+2ab-b(a+1)-b-1=0]
简化：
[a^2+a-a^2-a-1+2ab-ab-b-b-1=0]
[2ab-ab-2b-2=0]
[ab-2b-2=0]
[b(a-2)=2]
由于$b$是非零整数，且$a$是大于2的素数，因此$a-2$也是整数。为了使等式成立，$a-2$必须是2的因数。因为$a$是素数，所以$a-2$只能是1或2。
如果$a-2=1$，则$a=3$，此时$b=2$。
如果$a-2=2$，则$a=4$，但4不是素数，因此这种情况不成立。
因此，唯一可能的情况是$a=3，b=2，c=4$。
情况2：$c=a+3$
代入$c=a+3$：
[a(a+3)-a^2-(a+3)+2ab-b(a+3)-b-1=0]
简化：
[a^2+3a-a^2-a-3+2ab-ab-3b-b-1=0]
[3a-a-3+2ab-ab-4b-1=0]
[2a-4+ab-4b=0]
[2a+ab-4b-4=0]
[a(2+b)-4(b+1)=0]
[a(2+b)=4(b+1)]
由于$a$是大于2的素数，且$b$是非零整数，我们需要找到满足这个等式的$a$和$b$的值。通过尝试不同的$a$和$b$的值，我们可以发现没有满足条件的解。
综上所述，唯一满足所有条件的解是$a=3，b=2，c=4$。因此，原等式在这些条件下成立。
【附注】请注意，c=4不是素数，AI系统还是没有给出证明，而仅给出一个非素整数解。

yangchuanju

将太阳命题方程改成显式c=……，让AI系统重新分析——
已知：c=(a^2-2ab+b+1)/(a-b-1)，整数b≠0，奇数c>1，素数a>2，2a>c>a，
请证明c是素数。

AI智能回答
为了证明$c$是素数，我们需要仔细分析给定的条件和表达式。给定条件如下：
$c={a^2-2ab+b+1}/{a-b-1}$
$b$是大于2的整数
$c$是大于1的奇数
$a$是大于2的素数
$2a>c>a$
首先，我们对$c$的表达式进行简化和分析。
简化表达式
给定$c={a^2-2ab+b+1}/{a-b-1}$，我们可以尝试将分子进行因式分解或简化。
分子的因式分解
考虑分子$a^2-2ab+b+1$：
[a^2-2ab+b+1]
我们可以尝试将其表示为$(a-b-1)$的倍数形式。假设：
[a^2-2ab+b+1=(a-b-1)*k]
其中$k$是某个整数。我们需要找到$k$的具体形式。
代入并化简
将$a^2-2ab+b+1$代入$(a-b-1)*k$中：
[a^2-2ab+b+1=(a-b-1)*k]
展开右边：
[a^2-2ab+b+1=ak-bk-k]
整理得到：
[a^2-2ab+b+1=ak-bk-k]
将所有项移到一边：
[a^2-2ab+b+1-ak+bk+k=0]
分析$k$的值
假设$k=a-b$，代入上式：
[a^2-2ab+b+1=(a-b-1)(a-b)]
展开右边：
[a^2-2ab+b+1=a^2-ab-a-ab+b^2+b]
[a^2-2ab+b+1=a^2-2ab+b^2-a+b]
整理得到：
比较两边：
[b+1=b^2-a+b]
简化得到：
[1=b^2-a]
即：
[a=b^2-1]
验证$c$是素数
代入$a=b^2-1$到$c$的表达式中：
[c=\frac{(b^2-1)^2-2(b^2-1)b+b+1}{(b^2-1)-b-1}]
简化分子：
[(b^2-1)^2-2(b^2-1)b+b+1=b^4-2b^2+1-2b^3+2b+b+1]
[=b^4-2b^3-2b^2+3b+2]
简化分母：
[(b^2-1)-b-1=b^2-b-2]
因此：
[c=\frac{b^4-2b^3-2b^2+3b+2}{b^2-b-2}]
通过多项式除法，我们可以验证$c$是一个整数。由于$a$是素数，且$c$是奇数，且$2a>c>a$，我们可以得出$c$也是素数。
综上所述，$c$是素数。
【附注】这次AI给出了证明，但给出的结论并不正确。

太阳

找素数规律难度极大，找不到任何办法来解决素数问题