\(\Huge\color{red}{\textbf{自然数理论的底层逻辑}}\)

elim

1）集合论是数学的基础.  从归纳集\(U\)的本征性质:
\(\quad\;\;(\small\phi\in U)\wedge(\forall u\in U(u\in U\implies u\cup\{u\}\in U))\),
\(\quad\;\;\)结合无穷公理确立的最小归纳集\(S\), 后继映射
\(\quad\;\,\;s: n\mapsto n\small\cup\{n\},\)并记\(\,\phi\,\)为\(\,0,\;s(n)\)为\(n+1\),
\(\quad\;\,\;m\subsetneq n\)为\(m< n,\)致使\(S\)成为满足皮亚诺公理
\(\quad\;\;\)的良序集, 记所论\(S\)为 \(\mathbb{N}\), 称其元素为自然数.
\(\quad\;\;\)皮亚诺给出自然数的定义, 冯诺伊曼构造自然
\(\quad\;\;\)数(确立\(\mathbb{N}\)的存在, 给出了\(n(\in\mathbb{N})\)的集论结构);
\(\quad\;\;\)康托对\(\mathbb{N}\)作了非自然数的基数、序数序扩张.
2）从自然数的冯诺伊曼构造知道, 在\(\mathbb{R}\) 中不存在
\(\quad\;\,\)的\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)在广义实数系和集论意义下收敛(上
\(\quad\;\;\)下极限相等). 在Peano意义下\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\bigcup_{n=1}^\infty n\)
\(\quad\;\;=\mathbb{N}=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\)
\(\quad\;\;\)在广义实数系中\(\infty\)的后继是自己亦非自然数.
\(\quad\;\;\) 故在任何意义下均有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\not\in\mathbb{N}\)
3）归纳集\(\mathbb{N}\)的最小性是自然数皆有限数的根源．
\(\quad\;\,\)令\(\mathbb{N} ’=\{m\in\mathbb{N}:\;m<  v\}\)(\(v\)为最小无穷数)
\(\quad\;\,\)易见\(\mathbb{N}’\)是归纳集．据皮亚诺公理第五条, \(\mathbb{N}’\)
\(\quad\;\;\,=\mathbb{N}\)即\(\mathbb{N}\)只含有限数(当然有限数有无穷多).
\(\quad\;\,\;\mathbb{N}\)没有归纳真子集．皮亚诺第五条表明\(\mathbb{N}\)是
\(\quad\;\,\)最小归纳集．

【注记】所论底层逻辑由前六行给出. 余皆评注．
\(\quad\;\,\)上面 1) 的末三行非常重要. 狭义地说关于数
\(\quad\;\,\)集论仅研究序数及基数. \(\mathbb{N}\) 既是有限序数全
\(\quad\;\,\)体又是有限基数全体. 作为最小可数指标集，
\(\quad\;\,\)\(\mathbb{N}\)也是集论研究的不可或缺的工具．
\(\quad\;\,\)人面狮身兽是一个自明的概念, 但概念明确
\(\quad\;\,\)不等于外延非空. 有了皮亚诺公理不等于自
\(\quad\;\,\)然数严格地存在. 所以冯诺伊曼构造绝对重
\(\quad\;\,\)要. 而冯诺伊曼构造的终极依据是无穷公理.
\(\quad\;\,\)这条公理也引进了归纳集概念．
\(\quad\;\,\)从代数学观点看, \(\mathbb{N}\)是源于集论的最简数系.
\(\quad\;\,\)从分析观点看, \(\mathbb{R}\)是\(\mathbb{Q}\)的连续扩张, 而\(\mathbb{Q}\)是
\(\quad\;\,\)\(\mathbb{N}\)的最小保序域扩张.

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中，\(v\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确切的数，所以\(v-有限数k\)也是确切的数。因此有限数k是\(v\)的\(v-k\)代前趋，即\(v-(v-k)=k\)！

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-27 08:56
命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
...

自然数理论的底层逻辑就是冯诺依曼构造.不是孬种
可以理解的，更不是孬种可以推翻的.
对无穷集合, 计数只能是其基数. 因无穷集必有与之
等势的真子集. 对无穷集而言，其计数(基数)不满足
皮亚诺公理导出的自然数序关系及算术法则，例如
n < n+1 对无穷基数 n 不成立. 所以无穷基数皆非
自然数. 而自然数皆有限基数故而是有限自然数.
蠢疯白痴身份被坐实, 孬贼船漏不打一处来

春风晚霞

       冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：“=”的左边是“=”右边的后继。等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n\)是集合等式。而对\(n\in\mathbb{N}\)显然亦有\(n=\{0,1,2,…\}\)的“=”则表示集合n是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)后继，即集合\(\{0,1,2.…，n\}\)是集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)的后继。虽然集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)\(\subsetneq\mathbb{N}\),但集合\(sup\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\)\(\mathbb{N}\) .所以没有\(n<\mathbb{N}\)之说(数与集合的关系只有\(\in\)或\(\notin\)两种情形，而无“<”、“>”关系）。当然也就更没有\(\mathbb{N}\)\(\subsetneq\)\(\mathbb{N}\)之理！因为集合\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}\) ，所以\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\subseteq\mathbb{N})\)\(\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)（两集合相等的充分必要条件）. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\) .