\(\Huge\color{red}{也说孬种不敢面对\lim n的问题之四}\)

春风晚霞

       《数学分析》中确实有\(\infty=\infty\pm j\)这样的表达式，但自然数理论(皮亚诺公理，康托尔正整生成法则、冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法)中\(v-2=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-2=\)\(\infty-2\)、\(v-1=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1\)\(=\)\(\infty-1\)、\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty\)它们都是自然数(否则自然数集\(\mathbb{N}=\phi\))！并且\(\infty-2<\infty-1<\infty\)。这是因为自然数理论中的\(\infty\)是基数和序数(即量值与序号)的统一，是一个确定的自然数。而《数学分析》的\(\infty\)是集合、是变化趋势。它们的区別在于《数学分析》只是宏观定性研究\(\infty\)，并不注重\(\infty\)与\(\infty\pm j\)的异同。而自然数理论中是微观定量研究\(\infty\)，\(\infty\)与\(\infty\pm j\)分别表示不同的计数，特别强调\(\infty\)与\(\infty\pm j\)的区别！也正因为如此，康托尔把《数学分析》中的\(\infty\)称作“不适当的\(\infty\)”，而把实正整数中的\(\infty\)称作“适当的\(\infty\)”(参见康托尔《超穷数理论基础》P42页)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty+1\)，这样的表述在自然数理论中既不严谨也不自洽。

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中，\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确切的计数，所以\((v-有限数k)\)也是确切的计数。因此有限数k是\(v\)的\((v-k)\)代前趋，亦即\(v-(v-k)\)\(=k\)。