\(\huge\color{red}{\textbf{最小无穷序数}=\textbf{第一个极限序数}}\)

elim

首序数\(0 =\phi\)；序数\(u\)的后继序数是\(u+1=u\cup\{u\}\)
无最大元前段 \(\mathscr{U}=\{0,1,\ldots, u, u+1, u+2,\ldots\}\)
的后续序数是 \(u+\omega = \sup\mathscr{U}=\bigcup_{\;v\in\mathscr{U}} v=\bigcup\mathscr{U}.\)
其中\(u\)不是任何序数的后继. 此时称\(u+\omega\) 是极限序数.
取\(u=0\) 得 \(\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N}\) 是第一个极限序数. 因
\(\omega=\mathbb{N}\)是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 \(\omega\)是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证：
【定理】第一个极限序数 \(\omega\) 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章

春风晚霞

       命题:若\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)，不仅证明了当\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)非自然数时，\(v-1\)非自然数。还证明了\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)非自然数时，任何有限正整数皆非自然数。你的【其前驱的存在性需要证明】是什么意思？是证明不存在比\(v\)小的自然数\(v\)-1吗？命题不已证明了小于\(v\)正整数都不是自然数了吗？【其前驱的存在性需要证明】，是证明比\(v\)小的数不适用皮亚诺公理吗？命题证明的理论根据不正是这样处理的吗？真不知道elim不要个什么样的证明？你能给出一个示范性证明吗？\(v-1=v\)这不是皮亚诺自然数理论，而是elim的“要吃狗屎”的自然数理论！
      【康托的小于ω的数都是有限序数】？康托尔证明过吗？皮亚诺证明过吗？冯\(\cdot\)诺依曼证明过吗？证明若\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}\)必为有限集理论根据是皮亚诺公理。推导过程亦很简单：自然数集\(\mathbb{N}-\{无限元\}\)不就是有限集吗？elim你用你的“狗要吃屎”的“底层逻辑”化解了由【自然数皆有限数】导致的各种矛盾了吗？

春风晚霞

序数\(u\)的后继序数是\(u+1=u\cup\{u\}\)这也是冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法。后续序数【\(u+\omega=sup\mathscr{U}=\)\(\displaystyle\bigcup_{u\in\mathscr{U}}v=\)\(\displaystyle\bigcup\mathscr{U}\)】出自董延闿著【基础集合论】 第六章哪节哪页哪行。从你的一贯陈述看这个错误的表达式都是你的“底层逻辑”所为。应该与董延闿无关！

elim

孬种的贴子与本主题无关，视为搅局，本主题重发。

春风晚霞

序数\(u\)的后继序数是\(u+1=u\cup\{u\}\)这也是冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法。后续序数【\(u+\omega=sup\mathscr{U}=\)\(\displaystyle\bigcup_{u\in\mathscr{U}}v=\)\(\displaystyle\bigcup\mathscr{U}\)】出自董延闿著【基础集合论】 第六章哪节哪页哪行。从你的一贯陈述看这个错误的表达式都是你的“底层逻辑”所为。应该与董延闿无关！

elim

孬种否证不了底层逻辑，因为它就是冯诺依曼构造
本身. 董延闿的书直说 \(\omega = \mathbb{N}\), 白痴还是懂不了.
同样道理, 孬种根本不知道康托说了什么。

春风晚霞

冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：”=“的左边是”=“右边的后继。而等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n\)是集合等式。而【对\(n\in\mathbb{N}\)显然亦有\(n=\{0,1,2,…\}\)】的“=”则表示n是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)后继，即集合\(\{0,1,2.…，n\}\)是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)的后继。虽然集合\(\{0,1,2,…\)\((n-1)\}\)\(\subsetneq\mathbb{N}\),但集合\(sup\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\)\(\mathbb{N}=\mathbb{N}\) .所以没有\(n<\mathbb{N}\)之说。当然也就没有\(\mathbb{N}\)\(\subsetneq\)\(\mathbb{N}\)之理！由于单增集列\(A_k=\{0,1,2，…k\}\)的极限集存在，并且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\),所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\subseteq\mathbb{N}\)\(\land\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\) .所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\) .

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-29 23:18
冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数 ...

孬种不知道集合论是全部数学的基础
这话是什么意思啊, 哈哈. 凡数都是集
合! 只有集论白痴顽瞎才发楼上昏贴.

春风晚霞

       冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：“=”的左边是“=”右边的后继。等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n\)是集合等式。而对\(n\in\mathbb{N}\)显然亦有\(n=\{0,1,2,…\}\)的“=”则表示集合n是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)后继，即集合\(\{0,1,2.…，n\}\)是集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)的后继。虽然集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)\(\subsetneq\mathbb{N}\),但集合\(sup\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\)\(\mathbb{N}\) .所以没有\(n<\mathbb{N}\)之说(数与集合的关系只有\(\in\)或\(\notin\)两种情形，而无“<”、“>”关系）。当然也就更没有\(\mathbb{N}\)\(\subsetneq\)\(\mathbb{N}\)之理！因为集合\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}\) ，所以\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\subseteq\mathbb{N})\)\(\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)（两集合相等的充分必要条件）. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\) .