$\huge\color{red}{\textbf{最小无穷序数}=\textbf{第一个极限序数}}$

elim

首序数$0 =\phi$；序数$u$的后继序数是$u+1=u\cup\{u\}$
无最大元前段 $\mathscr{U}=\{0,1,\ldots, u, u+1, u+2,\ldots\}$
的后续序数是 $u+\omega = \sup\mathscr{U}=\bigcup_{\;v\in\mathscr{U}} v=\bigcup\mathscr{U}.$
其中$u$不是任何序数的后继. 此时称$u+\omega$ 是极限序数.
取$u=0$ 得 $\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N}$ 是第一个极限序数. 因
$\omega=\mathbb{N}$是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 $\omega$是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证：
【定理】第一个极限序数 $\omega$ 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章

春风晚霞

序数$u$的后继序数是$u+1=u\cup\{u\}$这也是冯$\cdot$诺依曼自然数构成法。后续序数【$u+\omega=sup\mathscr{U}=$$\displaystyle\bigcup_{u\in\mathscr{U}}v=$$\displaystyle\bigcup\mathscr{U}$】出自董延闿著【基础集合论】 第六章哪节哪页哪行。从你的一贯陈述看这个错误的表达式都是你的“底层逻辑”所为。应该与董延闿无关！

elim

孬种的贴子除了抱怨我没有教他集论，并无
实质论证或否证，视为搅局。将重发本主题.

春风晚霞

在实正整数列1，2，3，……$\nu$，$\omega$，$\omega+1$，$\omega+2$，……中，康托尔说“数$\nu$既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体“（参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行）所谓把一个个单位放地去意即：数$\nu$的基数$\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1}$，数$\nu$的序数就是实正整数列1，2，3，……$\nu$，$\omega$，$\omega+1$，$\omega+2$，……中表示第$\nu$号。所以所以数$\nu$既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……它是10号位置的自然数,也表示它值是10个单位。$\aleph_0$是可列集的势，它与$\nu$没有直接联系。$\omega$是第一个超穷正整数集的初始元，它没有直接前趋。所以数$\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$既不是$\aleph_0$，也不是数$\omega$！elim主帖中的【【定理】$\aleph_0$，$\omega$不是任何自然数的后继】，说的倒是一句大实话！但以此证明$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}$,确实像"因为女浴室中无男人，所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?！

elim

孬种否证不了底层逻辑，因为它就是冯诺依曼构造
本身. 董延闿的书直说 $\omega = \mathbb{N}$, 白痴还是懂不了.
同样道理, 孬种根本不知道康托说了什么。

春风晚霞

冯$\cdot$诺依曼自然数构成法$u+1=u\cup\{u\}$的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：”=“的左边是”=“右边的后继。而等式$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n$是集合等式。而【对$n\in\mathbb{N}$显然亦有$n=\{0,1,2,…\}$】的“=”则表示n是集合$\{0,1,2,…(n-1)\}$后继，即集合$\{0,1,2.…，n\}$是集合$\{0,1,2,…(n-1)\}$的后继。虽然集合$\{0,1,2,…$$(n-1)\}$$\subsetneq\mathbb{N}$,但集合$sup\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=$$\mathbb{N}=\mathbb{N}$ .所以没有$n<\mathbb{N}$之说。当然也就没有$\mathbb{N}$$\subsetneq$$\mathbb{N}$之理！由于单增集列$A_k=\{0,1,2，…k\}$的极限集存在，并且$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$,所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$$\subseteq\mathbb{N}$$\land\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$ .所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}$ .

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-29 23:18
冯$\cdot$诺依曼自然数构成法$u+1=u\cup\{u\}$的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数 ...

孬种不知道集合论是全部数学的基础
这话是什么意思啊, 哈哈. 凡数都是集
合! 只有集论白痴顽瞎才发楼上昏贴.

春风晚霞

       冯$\cdot$诺依曼自然数构成法$u+1=u\cup\{u\}$的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：“=”的左边是“=”右边的后继。等式$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n$是集合等式。而对$n\in\mathbb{N}$显然亦有$n=\{0,1,2,…\}$的“=”则表示集合n是集合$\{0,1,2,…(n-1)\}$后继，即集合$\{0,1,2.…，n\}$是集合$\{0,1,2,$$…(n-1)\}$的后继。虽然集合$\{0,1,2,$$…(n-1)\}$$\subsetneq\mathbb{N}$,但集合$sup\mathbb{N}=$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=$$\mathbb{N}$ .所以没有$n<\mathbb{N}$之说(数与集合的关系只有$\in$或$\notin$两种情形，而无“<”、“>”关系）。当然也就更没有$\mathbb{N}$$\subsetneq$$\mathbb{N}$之理！因为集合$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=$$\mathbb{N}$ ，所以$(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n$$\subseteq\mathbb{N})$$\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)$（两集合相等的充分必要条件）. 所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}$ .

elim

数是具有特殊结构的集合，集论白痴的 lim n 走眼目测
不合乎数列极限,也不合集列极限
首序数$0 =\phi$；序数$u$的后继序数是$u+1=u\cup\{u\}$
无最大元前段 $\mathscr{U}=\{0,1,\ldots, u, u+1, u+2,\ldots\}$
的后续序数是 $u+\omega = \sup\mathscr{U}=\bigcup_{\;v\in\mathscr{U}} v=\bigcup\mathscr{U}.$
其中$u$不是任何序数的后继. 此时称$u+\omega$ 是极限序数.
取$u=0$ 得 $\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N}$ 是第一个极限序数. 因
$\omega=\mathbb{N}$是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 $\omega$是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证：
【定理】第一个极限序数 $\omega$ 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章