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最小无穷序数=第一个极限序数

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发表于 2025-5-30 11:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
首序数0=ϕ;序数u的后继序数是u+1=u{u}
无最大元前段 U={0,1,,u,u+1,u+2,}
的后续序数是 u+ω=sup
其中u不是任何序数的后继. 此时称u+\omega 是极限序数.
u=0\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N} 是第一个极限序数. 因
\omega=\mathbb{N}是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 \omega是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证:
【定理】第一个极限序数 \omega 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章
发表于 2025-5-30 11:45 | 显示全部楼层
序数u的后继序数是u+1=u\cup\{u\}这也是冯\cdot诺依曼自然数构成法。后续序数【u+\omega=sup\mathscr{U}=\displaystyle\bigcup_{u\in\mathscr{U}}v=\displaystyle\bigcup\mathscr{U}】出自董延闿著【基础集合论】 第六章哪节哪页哪行。从你的一贯陈述看这个错误的表达式都是你的“底层逻辑”所为。应该与董延闿无关!
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 楼主| 发表于 2025-5-30 11:49 | 显示全部楼层
孬种的贴子除了抱怨我没有教他集论,并无
实质论证或否证,视为搅局。将重发本主题.

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发表于 2025-5-30 11:49 | 显示全部楼层
在实正整数列1,2,3,……\nu\omega\omega+1\omega+2,……中,康托尔说“数\nu既表示把一个个单位放上去的确切计数,又表示它们所汇集成的整体“(参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行)所谓把一个个单位放地去意即:数\nu的基数\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1},数\nu的序数就是实正整数列1,2,3,……\nu\omega\omega+1\omega+2,……中表示第\nu号。所以所以数\nu既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……它是10号位置的自然数,也表示它值是10个单位。\aleph_0是可列集的势,它与\nu没有直接联系。\omega是第一个超穷正整数集的初始元,它没有直接前趋。所以数\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n既不是\aleph_0,也不是数\omega!elim主帖中的【【定理】\aleph_0\omega不是任何自然数的后继】,说的倒是一句大实话!但以此证明\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N},确实像"因为女浴室中无男人,所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?!
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 楼主| 发表于 2025-5-30 12:06 | 显示全部楼层
孬种否证不了底层逻辑,因为它就是冯诺依曼构造
本身. 董延闿的书直说 \omega = \mathbb{N}, 白痴还是懂不了.
同样道理, 孬种根本不知道康托说了什么。
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发表于 2025-5-30 14:17 | 显示全部楼层
\cdot诺依曼自然数构成法u+1=u\cup\{u\}的“=”两边要么同时是数,要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是:”=“的左边是”=“右边的后继。而等式\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n是集合等式。而【对n\in\mathbb{N}显然亦有n=\{0,1,2,…\}】的“=”则表示n是集合\{0,1,2,…(n-1)\}后继,即集合\{0,1,2.…,n\}是集合\{0,1,2,…(n-1)\}的后继。虽然集合\{0,1,2,…(n-1)\}\subsetneq\mathbb{N},但集合sup\mathbb{N}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\mathbb{N}=\mathbb{N} .所以没有n<\mathbb{N}之说。当然也就没有\mathbb{N}\subsetneq\mathbb{N}之理!由于单增集列A_k=\{0,1,2,…k\}的极限集存在,并且\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n,所以\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\subseteq\mathbb{N}\land\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n .所以\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N} .
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 楼主| 发表于 2025-5-30 22:26 | 显示全部楼层
春风晚霞 发表于 2025-5-29 23:18
\cdot诺依曼自然数构成法u+1=u\cup\{u\}的“=”两边要么同时是数,要么同时是集合。决无一个“数 ...

孬种不知道集合论是全部数学的基础
这话是什么意思啊, 哈哈. 凡数都是集
合! 只有集论白痴顽瞎才发楼上昏贴.
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发表于 2025-5-31 03:22 | 显示全部楼层

       冯\cdot诺依曼自然数构成法u+1=u\cup\{u\}的“=”两边要么同时是数,要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是:“=”的左边是“=”右边的后继。等式\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n是集合等式。而对n\in\mathbb{N}显然亦有n=\{0,1,2,…\}的“=”则表示集合n是集合\{0,1,2,…(n-1)\}后继,即集合\{0,1,2.…,n\}是集合\{0,1,2,…(n-1)\}的后继。虽然集合\{0,1,2,…(n-1)\}\subsetneq\mathbb{N},但集合sup\mathbb{N}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\mathbb{N} .所以没有n<\mathbb{N}之说(数与集合的关系只有\in\notin两种情形,而无“<”、“>”关系)。当然也就更没有\mathbb{N}\subsetneq\mathbb{N}之理!因为集合\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\mathbb{N} ,所以(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\subseteq\mathbb{N})\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)(两集合相等的充分必要条件). 所以\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N} .
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 楼主| 发表于 2025-7-7 23:43 | 显示全部楼层
数是具有特殊结构的集合,集论白痴的 lim n 走眼目测
不合乎数列极限,也不合集列极限

首序数0 =\phi;序数u的后继序数是u+1=u\cup\{u\}
无最大元前段 \mathscr{U}=\{0,1,\ldots, u, u+1, u+2,\ldots\}
的后续序数是 u+\omega = \sup\mathscr{U}=\bigcup_{\;v\in\mathscr{U}} v=\bigcup\mathscr{U}.
其中u不是任何序数的后继. 此时称u+\omega 是极限序数.
u=0\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N} 是第一个极限序数. 因
\omega=\mathbb{N}是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 \omega是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证:
【定理】第一个极限序数 \omega 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章
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\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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