\(\huge\color{red}{\textbf{实数集不可数定理的对角线法证明是一个伪证}}\)

APB先生

实数集不可数定理的对角线法证明是一个伪证

      众所周知，康托尔关于实数集不可数定理的经典证明叫做对角线法，很遗憾！这个证明绝对是一个伪证，理由如下：
      因为康托尔的证明完全是建立在无限多的学术造假和偷换概念之上的，这就是把区间\(\left( 0{,}1\right)\)的每一个有限小数都缩小成一个无限小数，其缩小方式例如：\[0.5=0.4999\cdots=0.4\dot{9}\]
      因为\[0.5=\left( 0.01+0.49\right)=\left( 0.001+0.499\right)=\cdots\cdots=\left( 0.\dot{0}1+0.4\dot{9}\right)\]
      所以其缩小的误差为\[\left| 0.5-0.4\dot{9}\right|=0.\dot{0}1>0;\ \ \ \ \ \ \dot{0}=00\cdots=0\cdots0\]\[0.\dot{0}1=0.1\times0.1\times\cdots=0.1^{\infty}\]其中\(0.\dot{0}1\)是大于 0 的无穷小小数；
     假若 \(0.\dot{0}1=0\)，则会导致矛盾 \(1=0\)，进而导致 \(0.4\dot{9}\) 不可能存在；
      因为   \[\left( 0.\dot{0}1=0\right)\Rightarrow\left( 0.\dot{0}1\div0.\dot{0}1=0\div0.\dot{0}1\right)\Rightarrow\left( 1=0\right)\]
      因为\[0.5=f\left( 0.\dot{0}1\right)\]\[0.5=\left( 0.01+0.01\times49\right)=\cdots\cdots=\left( 0.\dot{0}1+0.4\dot{9}\right)=\left( 0.\dot{0}1+0.\dot{0}1\times4\dot{9}\right)\]其中的 \(0.4\dot{9}=0.\dot{0}1\times4\dot{9}\) 是小于 \(0.5\) 的无穷大小数，也是 \(0.\dot{0}1\) 的倍数；\(4\dot{9}\) 是无穷大整数；显然，若 \(0.\dot{0}1=0\) ，则 \(\left( 0.\dot{0}1\times4\dot{9}\right)=\left( 0\times4\dot{9}\right)=0\)
      所以 \(0.\dot{0}1>0\)。
      康托尔的对角线法证明中，只有 \(0.4\dot{9}\)，没有 \(0.\dot{0}1\)；这是逐末忘本，这是严重的错误和漏洞。
      因为纯有限小数\(0.5\)是一个定数，不是一个变数，其自反性为：\(0.5=0.5\)；其绝对值和极限值都还是\(0.5\)，决不可能变成其它数，\[0.5=0.5{,}\ \ \ \ \ \left| 0.5\right|=0.5，\ \ \ \lim_{ }0.5=0.5{,}\ \ \ \ \ 0.5\not\equiv\neg0.5\]
      因为纯无限小数\(0.4\dot{9}\)也是一个定数，不是一个变数，其自反性为：\(0.4\dot{9}=0.4\dot{9}\)；其绝对值和极限值都还是\(0.4\dot{9}\)，也决不可能变成其它数，\[\left| 0.499\cdots\right|=0.499\cdots，\ \ \ \lim_{ }0.499\cdots=0.499\cdots\]
      虽然是有\[\lim_{ }\left\{ 0.49{,}\ 0.499{,}\ 0.4999{,}\ \cdots\cdots\right\}=0.5\]
      但是数列\(\left\{ 0.49{,}\ 0.499{,}\ 0.4999{,}\ \cdots\cdots\right\}\)中的每一个小数都是小于\(0.5\)的不变的定数\[0.49<0.499<\ \cdots\cdots<0.4\dot{9}<0.49\dot{9}<\cdots<0.4\dot{\dot{9}}\dot{9}<\cdots<0.5\]\[0.49\dot{9}=0.40\dot{9}\oplus9=0.40\dot{9}+0.09\]
      因此\[0.499\cdots\not\equiv0.5，\ \ \ 0.499\cdots<0.5\]\[0<0.\dot{0}1\prec\ 0.4\dot{9}<0.5\]
      假如 \(0.5=0.499\cdots\) 成立，则会差之毫厘谬以千里，则会产生蝴蝶效应，小于\(0.5\)的每一个有限小数\(0.a_1a_2\cdots a_n<0.5\)也都应当同样被缩小成更小的无限小数，…… ，否则有失公允，这就将会导致矛盾\(0.5=0\)；推导过程如下：
      假设 \(0.5=0.499\cdots\)成立：
      因为有一次这样的缩小，就会有无数次这样的缩小；
      因为\(0.499\cdots=0.4+0.09+0.009+\cdots\cdots\)；则其中的有限小数集 \[\left\{ 0.4.\ 0.09{,}\ 0.009{,}\ \cdots\cdots\right\}\]也应当被缩小成无限小数集 \[\left\{ 0.3\dot{9}{,}\ 0.08\dot{9}{,}\ 0.008\dot{9}{,}\ \cdots\cdots\right\}\]
      所以\(0.4+0.09+0.009+\cdots\cdots=0.3\dot{9}+0.08\dot{9}+0.008\dot{9}+\cdots\cdots\)。
      因为\(0.399\cdots=0.3+0.09+0.009+\cdots\cdots\)；
      所以\(0.3+0.09+0.009+\cdots\cdots=0.2\dot{9}+0.08\dot{9}+0.008\dot{9}+\cdots\cdots\)。
      ………………
      \(0.5\) 经过无穷次这样的一次比一次更小的连续缩小运算后，就可得到矛盾 \[0.5=\left( 0.49+\cdots\right)=\left( 0.39+\cdots\right)=\cdots\cdots=0\]
      因此假设\(0.5=0.499\cdots\)不成立。
      可以断言：至于对角线法证明的其它部分就全部都是错误的。
      所以实数集不可数定理的对角线法证明是一个伪证。

APB先生

      假如\[0.5=0.4\dot{9}=0.4+0.09+0.009+\cdots\cdots\]有一次缩小，就会有无穷次缩小
      则有\[0.4=0.3\dot{9}=0.3+0.09+0.009+\cdots\cdots\]\[0.3=0.2\dot{9}=0.2+0.09+0.009+\cdots\cdots\]
      等等
      \(0.5\) 经过同样的无穷次的缩小后，就得到矛盾\[0.5=0\]
      再经过同样的无穷次的缩小后，就得到新矛盾\[0.5=-0.5\]
      总之是可以得到\[\left( 0.5=0.4\dot{9}\right)\Rightarrow\left( 0.5=\neg0.5\in R\right)\]
      \(0.5=0.4\dot{9}=0.5\) 是很神奇的。

APB先生

      实数集不可数定理的反例有无穷多：      
      实数集 \(\left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots\cdots\right\}\ \ \)可数；
      实数集 \(\left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots\cdots\right\}\ \ \)可数；
      …………
      实数集 \(\left\{ x_1{,}\ x_2{,}\ \cdots{,}\ x_n{,}\ \cdots\ ;\ x_n\in R\right\}\ \ \)可数。

APB先生

无穷小小数集 \(\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.0\dot{0}1{,}\ \cdots\right\}\) 的极限是零，但是其中的每一个无穷小小数或高阶无穷小小数的极限都不等于零，都大于零；
\[\lim\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.0\dot{0}1{,}\ \cdots\right\}=0\]\[\lim0.\dot{0}1=0.\dot{0}1>0{,}\ \ \lim0.0\dot{0}1=0.0\dot{0}1>0{,}\ \ \cdots\cdots\ {,}\ \lim0.\dot{\dot{0}}1=0.\dot{\dot{0}}1>0{,}\ \cdots\cdots\]

APB先生

一百多年前，康托尔提出的著名定理——实数集不可数——是一个假定理，他造出的经典证明——对角线法——是一个假证明，他给出的等式如 \(0.5=0.4\dot{9}\)是一种假等式；康托尔的这三大学术造假已经在国际主流数学界流行了一百多年了。