关于曲线积分中的曲线和被积函数

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关于曲线积分中的曲线和被积函数

原创  NERV000  有条有梅  2025 年 04 月 05 日 20:43  河南

       我们知道，曲线积分的理论和应用价值都很高。一方面，可以用曲线逐步逼近面积，与格林公式结合，进而得到二重积分中的雅可比行列式；另一方面，可以用曲线来表示物体的位移，进而得到物体沿曲线运动时的功。所以，我的看法是，无论是从理论还是实际应用的角度来看，还是需要认真思考一下曲线积分中的一些问题的。比如说曲线，平面内的曲线，空间内的曲线，或者说 n 维空间中的曲线，到底是什么？



   从某种角度来说，曲线是一个单变量多值函数，所以它的微分，如上图所说，应该是一个向量。下面的问题是，曲线积分的定义中的被积函数，它到底是多变量单值函数，还是多变量多值函数，即：



    被积函数应该是一个多变量多值函数，它的微分，应该是一个n阶方阵。曲线积分中的曲线与被积函数，并不是单变量单值函数，即：



    下面我们看一个简单的例子，沿平面内的直线的曲线积分：




Remark：微分也好，积分也好，并不是一个个孤零零的概念或者式子，很多时候，这些公式或概念之间是相互联系的。对我们普通人来说，主要是解决工程中或者工作中出现的问题，而不是从理论到理论，从技巧到技巧，因为那个确实是太难了。

有条有梅