欧拉恒等式 ── 最优美的数学定理

luyuanhong

欧拉恒等式 ── 最优美的数学定理

原创  周志成  遇见数学  2025 年 06 月 02 日 20:00  河南

公元 1990 年德国 Springer Verlag 出版公司发行的 The Mathematical Intelligencer 期刊公布一项票选结果：欧拉恒等式（Euler's identity）获选为「最优美的数学定理」（the most beautiful theorem in mathematics） [1]。下面抄录维基百科的欧拉生平介绍[2]：

欧拉（Leonhard Euler），瑞士巴塞尔人也，一七零七年四月十五日生。一七二六年得博士衔。翌年，教俄罗斯科学院，俄与数学竞赛，论船桅之构作，仅败于布给。布给者，泰西航海学之父也。越四年，除教授。复越两年，拜数学系主任。翌年，罹患，右目眇。一七四一年，俄国乱，遂迁柏林，教柏林科学院。一七六六年，返俄罗斯科学院。一七八三年九月十八日卒，年七十七。法兰西哲人孔多塞曰：「至此，欧拉不复算数，亦无复生也。」欧氏执十八世纪数学牛耳，论文近千，惟二十世纪保罗·艾狄胥可匹敌之。究分析，创函数，混一欧洲大陆及英国之微积分；解七条桥问题，开图论及拓扑之先；论复数，究欧拉数，得欧拉恒等式，誉最优美恒等式；论凸多面体，证欧拉等式，后人推而广之，得流形之欧拉特征值；究欧拉函数，得欧拉定理，为费马小定理之推广。


莱昂哈德·欧拉（图自维基）

这是著名的欧拉恒等式：



其中 e 是自然对数的底数，亦称欧拉数，i 是虚数单位，满足 i^2=-1（或写成 i=√-1 ），π 是圆周率。欧拉恒等式出现三个基本算术运算：加法、乘法与指数，联系了五个基本数学常数：0 ,1 , e , i , π 。欧拉恒等式是欧拉公式（Euler formula）的一个必然结果，它说：



其中 θ 为任意实数。根据欧拉公式，指数函数 e^(iθ) 的实数部分等于余弦函数 cosθ ，虚数部分等于正弦函数 sinθ 。在复数平面上，e^(iθ) 位于单位圆周，θ 为从 1 至 2π 的（有号）弧长（见图一）。当 θ= π，即得欧拉恒等式。


图一 Euler's formula

美国麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology ，简称 MIT）斯特朗（Gilbert Strang）教授在他的线性代数教科书里讲述了一个关于欧拉公式证明的故事[3]：

我还记得 MIT 收到一名纽约囚犯来信的那一天，他询问欧拉公式是否为真。当你一想到这个公式优美地将三个基础数学函数联系在一起时，不免感到惊讶。

我们的最佳答案是利用幂级数完成证明




图二 The complex number



德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）曾说[1]：「如果一个学生在被告知欧拉公式时未能立刻视之为明显的事实，这个学生将来绝不会是一流的数学家。」读了 MIT 提供的证明后，那名囚犯是否因此相信欧拉公式是真的？会不会如小说或电影情节那样，囚犯日后成为一位一流的数学家？斯特朗没有透露后续故事。

那么听闻欧拉公式后，一般菁英学者又有什么反应呢？从十九世纪美国哈佛大学数学教授皮尔斯（Benjamin Peirce）在讲堂证毕欧拉恒等式之后所说的这段话，不难想像当第一次面对史上最优美的数学定理时，多数的学生是何等茫然与困惑[5]：

各位先生，它一定是真实的，它绝对是诡奇的。我们不了解它，我们也不明白它的含意。但我们已经证明了这个公式，所以我们知道它必定是正确的。

转自周志成老师博客  http://ccjou.wordpress.com

遇见数学