偏导数与方向导数

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偏导数与方向导数

原创  NERV000  有条有梅  2025 年 05 月 10 日 18:49  河南

       偏导数，可以看作特定方向的方向导数。沿任意方向的方向导数的存在，不能保证函数的连续性，所以，偏导数的存在也无法保证函数的连续性。如果无法保证函数是连续的，那么就无法保证函数是可微的，就无法较好地说明函数在某一点处的局部性质，就无法说明曲线或者曲面是光滑的，进而很难说明曲线的长度或者曲面的面积。下面我们看一个偏导数存在，但是沿任意方向的方向导数不存在的例子：



     上面是一个非常简单的函数，但是这个函数的偏导数是存在的，沿任意方向的方向导数是不存在的，即：



Remark：函数的方向导数，还与梯度有关，而梯度与曲线积分的路径有关，所以方向导数的定义，还是应该了解一下的。

有条有梅