2025全国高考数学Ⅱ卷（含四川）立几解读

波斯猫猫

17.(15分）如图，四边形 ABCD 中， AB // CD ，∠DAB =90°, F 为 CD 中点，

E 在 AB 上， EF//AD , AB =3AD, CD =2AD，将四边形 EFDA 沿 EF 翻折至

四边形 EFD ' A '，使得面 EFDA '与面 EFCB 所成的二面角为60°.

(1）证明： A ' B /／平面 CD ' F .

(2）求面 BCD '与面 EFD ' A '所成二面角的正弦值．

解读：(1)简单，常规操作即成.

(2)ⅰ属折纸问题，弄懂操作过程，读懂题意.

ⅱ经考察，基本不能使用坐标法，考虑用纯几何法.

ⅲ面 BCD '与面 EFD ' A '所成二面角为无棱二面角，二面角问题难，无棱二面角

那是难上加难，故一般需分离图形(难以想到)，作辅助线，延长EF和BC交于M,连

MD′，MD′为面 BCD '与面 EFD ' A '所成二面角的棱，这样就得到一个三棱锥，再

作FO⊥平面CD 'M于O，FN⊥MD '，连ON，这样就得到了其平面角∠FNO=θ，

还没包括证明(用三垂线定理或其逆定理)，难啊.这些神操作，作了6条辅助线，创造

了一个有棱二面角，一个三棱锥，一个二面角的平面角θ，对考生这有多难啊！这还

仅仅为计算做的准备工作，但是每一个细节都是关键，必须过了关，才有资格往前走.

ⅳ设AD=1(技巧)，其它数据如图所示，

①算得V(M-CDF)=√3/12，易算出，但难想到(要用到直线垂直平面的判定定理).

②利用V(M-CDF)=√3/12进行等量转换，算出FO=√3/√7,但算S(CMD ')要用余弦定理.

③利用等腰直角三角形的性质，易得出FN=√2/2.

④sinθ=(√3/√7)/(√2/2)=√42/7(锐角三角函数的定义).

注：有传说，数学在区间[140-150]上者，可破格上985. 这可能就是明证.

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分分都是血汗！如果图形三棱锥看起不顺眼，可能还要掀它两翻。
纯几何法似乎只有这一条道。

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话说：ⅱ经考察，基本不能使用坐标法，考虑用纯几何法.

那是因为高中未学《空间解析几何》. 试看，

根据主贴的分离图及其数据，可以有F(0,0,0)，C(1,0,0)，D'(1/2,√3/2,0)，

M(0,0,1). 设平面CD'M为ax+by+cz+d=0，平面FD'M为mx+ny+rz=0，

故，有方程组a+d=0，a/2+√3b/2+d=0，c+d=0，即a=-d，b=-d/√3，

c=-d，及方程组m/2+√3n/2=0，r=0，即m=m，b=-m/√3，r=0.

分别取它们的法向量(√3，1，√3)，(√3，-1，0)，

故cosθ=2/(2√7)=1/√7，即sinθ=√42/7.

注：这样多简捷，势如破竹，所以多读点书是好事.

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涉及二面角的问题一般都很难，特别是无棱二面角.它难在一个确定的二面角，

可它的平面角并不确定，有无穷多个，但大小是确定的，所以，常常需作出

有用的平面角(立几问题本来就难，除了要充分发挥空间想象力外，更重要的

是需把问题转化到几个有联系的平面上去，然后借助平几和立几的理论解决).

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化归平面思想：空间问题，离不开空间图形，而空间图形常常是由一些平面图形

或曲面图形在空间的有机组合. 欲解决空间问题，除了要充分发挥空间想象力外，

更重要的是需把问题转化归结到几个有联系的平面上去，并借助平几和立几的理

论知识解决. 这就是化归平面思想.

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抖音显示：山东大学中心校区数学学院一老师解析2025全国
高考数学2卷，对17题（立几）称，…，第2问，求一个二面
角的正弦，如果是求余弦，注意转化一下就好了。这也是考的
中规中矩，直接建系去解就好了，当然，也可以作辅助线，用
几何法去解。对第2问就这么几句，一带而过。
1，是不是有点避重就轻。2，目前高中好象只学了空间向量及空
间点的坐标等少数知识，不足以用来解决第2问。除非学过空间直
线和平面等相关知识。3，网友们怎么看。

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他的标题是：2025新高考数学2卷解析 一言难尽