欧拉风格的素数

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欧拉风格的素数

原创  围城里的猫  MathSpark  2025 年 06 月 19 日 18:02  陕西

以典型的欧拉方式，证明了以 1、3、7 和 9 结尾的素数有无限多个。

任何对数字有一点点兴趣的人都知道，素数的数量是无限的。



如果我们像这样将它们以网格形式高亮显示，就会清楚地看到，任何素数的最后一位数字必须是 1、3、7 或 9（当然，2 和 5 除外）。

但似乎没有任何充分的理由让素数更倾向于这四个数字中的某一个。

因此，自然地我们会猜想：

存在无限多个素数，其末位数字为 b ，其中 b 是 1、3、7 或 9 。

除非你以前见过这个结论，否则你大概不知道如何去证明它。

当你在尝试证明某件事而又不知道该从哪里下手时，通常一个不错的策略是：

先尝试去证明一个比你真正想证明的命题更简单、但又相关的命题。

简化这个特定问题的一个方法是注意到以下几点：除了特殊情况 2 和 5 之外，当我们将一个素数 p 除以 10 时，余数只可能是 1、3、7 或 9 ，我们可以写成：

                p ≡ 1 , 3 , 7 或 9 (mod 10) 。

然而，当我们将一个奇素数除以 4 时，只有两种可能的余数，1 或 3 。

所以我们可以从尝试证明如下命题开始：存在无限多个素数 p ，使得对于  b=1 或 3 ，

           p ≡ b (mod 4) 。

这只是意味着当我们将 p 除以 4 时的余数是 b 。


奇素数都是 1 或 3 (mod 4)

现在，让我们看看欧拉是如何思考这个问题的 —— 通过回顾他是如何证明“素数有无限多个”这一事实的。

素数、无穷级数与 π




模拟时钟以 12 为模数计时

证明

尽管我们对这个戏剧性的结论感到欣喜，但它并没有解决我们最初的问题。我们原本是想要证明，对于每一个 b = 1 , 3 , 7 , 9 ，都存在无限多个素数，其末位数字是 b 。




一支展示了最大“左可截”素数的铅笔

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