非欧几何到底在讲什么？

luyuanhong

非欧几何到底在讲什么？

原创  平方根  数学经纬网  2025 年 06 月 22 日 22:15  北京

谈起非欧几何，人们的第一反应往往是一位伟大的数学家---罗巴切夫斯基，他提出了过直线外一点可以至少做两条平行线的数学理论。这令人匪夷所思---与直观大相径庭的---数学理论是如何发展起来的？几何学的面貌为何因此而焕然一新？什么是第五公设问题？致力于解决第五公设难题的数学家有许多个，为什么后人把这一成就归功于罗巴切夫斯基？罗巴切夫斯基的几何有什么现实对应？等等这些问题就是本文要向读者介绍的。


罗巴切夫斯基（1792-1856），俄国数学家，非欧几何创立者

第五公设的历史

大约在公元前 300 年，欧几里得比较系统地总结了古代劳动人民长期积累的几何知识，把人们公认的一些事例归纳成定义和公理，用它来研究图形的性质，写成了《几何原本》一书。该书从定义、公设、公理出发，按逻辑规则勾织了一张命题之网，锤炼出了严密的公理化演绎系统，建立了几何学的逻辑体系。这其中包括着第五条公设（在有的版本中该公设是第十一公理），这公设现在是这样叙述的：“通过不在已知直线上的一点，不能引多于一条的直线，平行于已知直线。”


欧几里得与《几何原本》

在欧几里得的其他公设里，这个公设占有极其重要的地位。首先是平行的概念很难阐释。如何断定两个直线平行呢？为此需要把它们向两侧引到“无穷”，而且要断定它们在无限延长的整个范围内没有一处是相交的。这样的想法在有限的几何平面去讨论自然是困难的，欧几里得自己就让第五公设占有某种独特的地位。其次是在《几何原本》中，第五公设从第 29 个命题之后才发挥作用，欧几里得是不用第五公设而用前四公设加之定义、公理而得到前 28 个命题的。由于该公设的复杂性，自然是产生能否不用这个公设（就可以得出别的命题）的愿望，或是进一步用别的公设加上定义、公理来证明第五公设。下面三个图示是《几何原本》中所用的部分定义、公设、公理。


《几何原本》第一卷中的部分定义，其定义了点、线、面等概念，后续在各卷当中还定义了直角、圆等概念


《几何原本》中的公设（全书公设仅有五个，公设仅出现在书中第一卷），其中第五公设等价于“通过不在已知直线上的一点，不能引多于一条的直线，平行于已知直线。”


《几何原本》中的公理（全书公理仅有五个，公理仅出现在书中第一卷）

致力于解决这一问题的有许多数学家，但他们的努力都是徒劳的。每一次努力都显示出，这个或是那个证明的作者实际上却应用了别的某个命题，这个命题也许看起来是显然的，但是却不能以逻辑的必然性从几何学的其他前提推得。也就是说，每一次情况都是把第五公设换成了别的命题，而这个命题却是需要被证明的。比如，1）平行于已知直线的直线，与已知直线有定常的距离（普洛克尔）；2）存在着相似三角形（瓦里斯）；3）至少存在一个长方形（萨克利）；4）垂直于锐角的一条边的直线，也与这锐角的另一条边相交（勒让德）；5）存在着面积任意大的三角形（高斯）。

另外深入到这一难题的是数学家萨克利和兰贝尔特。萨克利是第一个企图用反证法来证明第五公设的数学家。他用相反的断言证明出一系列与直观大相径庭的结果之后，便以为问题到此为止了，可直观的匪夷所思并不代表逻辑的矛盾。而兰贝尔特是走的更加深入的数学家，他沿着同样的道路前进，但是既没有导出逻辑的矛盾，也没有做出其他的错误，他似乎没有声明他证明了第五公设。总之，平行线理论（第五公设问题）成为几何学的中心问题之一，研究它的有很多几何学家：高斯、拉格朗日、达朗贝尔、勒让德、瓦赫特、史威卡特、塔乌里努斯、伯依阿依等。

然而公设的证明始终没有得到。这是怎么回事呢？是没有办法解决呢？还是问题的提法本身就是错误的呢？著名的德国数学家高斯自 1792 年就致力于解决这个问题，而且问题的正确提法逐渐显现在他的面前，最终他决定丢弃第五公设，而且从 1813 年就开始从相反的断言中发展出一系列定理。可惜的是，高斯细心地隐藏了自己的研究（伯依阿依给高斯的信中谈起第五公设的否定，高斯说他也得到了类似的结果，但担心不被人理解，他拒绝发表相关的成果），史威卡特只是给高斯一封私人信，只有塔乌里努斯刊行了以第五公设的否定为基础的新的几何学的初步。然而他自己也排斥了这种几何学的可能性。因此他们之中谁都没有正式解决这个问题，直到 1826 年 2 月 23 日，喀山大学的青年教授罗巴切夫斯基才最先给出答案。

罗巴切夫斯基的解答

罗巴切夫斯基早在 1815 年就开始研究平行线理论，他最初也像其他的几何学家一样试图证明第五公设。但在 1823 年他已经清楚地意识到，“在概念本身之中并未包含大家想要证明的真情实况”，换句话说，从几何学的基本的前提和概念并不能推导出第五公设。罗巴切夫斯基遵循着萨克利和兰贝尔特曾经走过前几步的途径，继续地走下去。他引用了第五公设相反的断言，那就是把“通过不在已知直线上面的一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”作为公设进行推理，其不仅没有导出与其他几何学命题相矛盾的结果，相反地，却可以展开一系列的定理。这些定理本身并不包含着矛盾。因而这些推论也就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论可以看成是新的非欧几里得的几何学。

于是事情渐渐地明朗起来，罗巴切夫斯基对第五公设问题的解答是这样的：

1，第五公设是不可以被证明的。

2，几何学的其他基本命题加上否定的第五公设之后，可以展开一种与欧几里得几何不同的、逻辑上完整而富有内容的几何学。

由于在罗巴切夫斯基本人并没有找到这种几何的现实对应，罗巴切夫斯基慎重地把它称之为“虚拟的几何学”，后人则称之为罗巴切夫斯基几何。接下来让我们来初步欣赏欣赏罗巴切夫斯基几何它那不符合直觉但却符合逻辑的抽象理论。

罗巴切夫斯基几何

罗巴切夫斯基在他的几何学里推导出了与“通常的”初等几何相类似的全部结果，即达到了非欧几里得的三角学和三角形的解法，达到了全部的面积和体积的计算。理解罗巴切夫斯基几何的主要困难在于逻辑的可能性与直观的表现之间的矛盾。在此限于篇幅，我们提一些罗巴切夫斯基几何突出的结果。

第一点，在罗巴切夫斯基几何中，过直线外一点可以至少引出两条直线，记为 b 和 b' ，与已知直线 a 平行，于是处在 b 和 b' 两直线之间的所有直线都与直线 a 平行。


罗巴切夫斯基几何中处在 b 和 b' 两直线之间的所有直线都与直线 a 平行

第二点，在罗巴切夫斯基几何中，过直线外一点的所有的平行线，会存在两个极限的直线 c 和 c' ，两个直线内的所有直线都与已知直线相交，两个直线外的所有直线都与已知直线平行。图中的一半记为平行角。


存在两个极限的直线 c 和 c' ，两个直线内的所有直线都与已知直线相交，两个直线外的所有直线都与已知直线平行

第三点，在罗巴切夫斯基几何中，在过已知直线外一点的平行线上，在一端平行线与已知直线的距离越来越逼近于 0 ，而在另外一端越来越接近于无穷大！


在一端平行线与已知直线的距离越来越逼近于 0 ，而在另外一端越来越接近于无穷大

在欧几里得几何里，平行于已知直线的直线与它有定常的距离。而在罗巴切夫斯基几何这里，一般不存在这样的一对直线，在这里，两条直线要么总要分离到无穷，不是这一端就是那一端。至于与已知直线有定长的距离的线，并不是直线，而是一种曲线，叫做等距线。

再举一些新颖的结论，比如，平行角随着点离已知直线越来越远会变得越来越小，如果点趋向无穷远处，那么这个角会趋于零。再比如，三角形的内角和总小于两个直角之和，假如三角形变大，使得它们的高都无限地大，那么它的三个角都趋于零。再比如，两个三角形相等，指的是两个三角形三个角相等。再比如，在充分小的领域里，罗巴切夫斯基几何与欧几里得几何差异很小，举例来说，在罗巴切夫斯基几何中，圆周的长度 C 的公式为

                                           C = π k [ e^(r/k) - e^(-r/k) ] 。

其中 k 是依赖于单位长度的常数。在比值 r/k 很小时，公式近似于

                                                    C = 2 π r 。

这就回到了欧几里得中常见的圆的长与半径的关系的公式了。

结语

在科学中并非所有获得新成果的学者在确立这个新成果时都起着同样的作用，因而不能给予他们同等的功绩。这时候还需要考虑时间的优先性、结论的明白性和深度、它们产生的顺序和根据。还没有一个深思和多才的数学家可以像罗巴切夫斯基所做的那样，勇敢地坚持着自己思想，以至于在数学的发展中引起了革命。正是罗巴切夫斯基第一个公开地—— 1826 年在口头上，1829 年在文字上——提出了新的观念，而且继续在一系列的工作中发展了和宣传了这种概念，最后在 1855 年刊行了“泛几何学”。他在口述这个著作的时候，已经是暮年之年的瞎眼老人了，但是仍然保持着坚强的精神和确信自己的正确性。正因为如此，所以理应以他的名字来称呼这门新的科学：罗巴切夫斯基几何。

数学经纬网