数学探索之旅——代数基本定理

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数学探索之旅——代数基本定理

来源  华南数学教育小组  华南数学教育狗共同体  2025 年 06 月 04 日  广东  

从算数到代数，是人类抽象认识世界能力一次跨越式的发展。我们可以从剥离了具体对象特征来用统一的自然数给集合计数以外，能够继续再把这具体的数量抽象成用字母来表示的数，研究的是其作为任何数的统一的特征和性质，而不再关心任何一个具体的数，除了在找灵感和验证时候。

而当我们引入代数，再引入方程，自然而然地，我们就遇到了诸如 4 + ? = 2 的问题，于是产生了负数的概念。以及那最经典的故事，x^2 = -1 的时候，对 x 的解的需求引入了复数的存在。看起来越来越找不到实际对象与之对应，但是依据着数学上性质的保持性下的不断拓展，我们找到了其新的物理意义和应用点。而整个代数大厦根基，还数代数基本定理。

代数基本定理的内容

任何次数大于等于 1 的复系数多项式在复数域内至少有一个根。

这一结论等价于“ n 次多项式有 n 个复根 ”。

代数基本定理的历史

达朗贝尔的奠基性工作

1746 年，达朗贝尔首次对代数基本定理进行证明尝试，尝试通过“ 模长递减路径 ”逼近根的存在，但由于依赖未定义的“复数连续性”，存在逻辑循环论证的问题。但他将问题转化为分析学中的“极值问题”，突破了纯代数方法的局限为后续学者提供了重要的研究思路，推动了数学的发展。

欧拉的几何分析突破

欧拉在 1749 年从代数视角假设多项式可分解为一次因子，并通过对称函数理论论证了实系数多项式虚根成对出现，以及多项式可分解为一次或二次实因式。然而，他的研究缺乏“ 二次不可约因式根的存在性证明 ”这一关键环节，故未能全面证明根的存在性。

戴维等人的代数方法演进

戴维与拉格朗日、拉普拉斯在 1770-1790 年间相继发展代数证明体系，拉格朗日引入根的对称函数理论，拉普拉斯则通过多项式分解法完善了代数证明的严密性。

高斯大神登场

1799 年，高斯在博士论文中的证明具有开创性，他运用几何语言，将复数与平面点对应，通过研究多项式实虚部方程建立代数曲线，通过证明曲线交点存在，让抽象的“根存在”变得直观可感知，这一过程就像用地图地定位宝藏的位置，为代数基本定理的证明奠定了坚实基础。

后续高斯又给出了三次证明，逐步引入柯西积分、伽罗瓦理论等，将代数基本定理与复分析的“ 刘维尔定理 ”（有界整函数必为常数）、代数的“ 代数闭域 ”概念紧密关联，使不同数学分支相互呼应，形成了跨领域的理论共鸣，让定理的内涵更加丰富和深刻，展现了数学的广阔与深邃。

高斯的证明思路与过程





代数基本定理的影响

现代应用价值

01 多项式完全分解的理论支撑

代数基本定理严格证明 n 次多项式在复数域存在且仅存在 n 个根，为因式分解提供存在性保障，使



等分解具有数学确定性。

02 复分析理论体系的基石作用

定理揭示的复数域完备性构成解析函数理论根基，支撑柯西积分公式、留数定理等核心工具，奠定复变函数论学科基础框架。

03 代数几何研究的底层支撑

通过建立多项式方程与代数簇的对应关系，为研究仿射簇、射影簇的几何性质提供代数基础，在椭圆曲线研究中发挥关键作用。

04 拓扑学连通性证明的新视角

运用辐角原理进行证明时展现的连续变形思想，启发了复平面拓扑性质研究，为微分流形连通性分析提供新方法论。

05 工程数学中的根轨迹分析法

基于极点分布规律构建的控制系统稳定性判据，在航空航天器姿态控制、电力系统振荡抑制等领域获得工程应用验证。

对基础数学的深远意义

01 代数视角

从代数角度看，代数基本定理表明复数域是代数闭域，即不存在真正的代数扩张。这意味着在复数域中，任何复系数多项式都能在这个域内找到根，无需扩展到更大的数域，体现了复数域在代数结构上的完整性，确保了多项式方程的解的存在性。

02 分析视角

在分析学中，复平面是完备的度量空间，这一性质保证了在研究多项式时，模长函数的极值存在。基于此，高斯能够通过证明模长函数的最小值为 0 来证明根的存在，为代数基本定理提供了坚实的分析学基础，展现了数学领域的深度与广度。

03 拓扑视角

从拓扑角度，复平面是单连通的，多项式映射的卷绕数必为 n 。这使得多项式函数在复平面上的行为具有特定的拓扑性质，从而保证了函数图像必然穿过原点，即多项式必有根。这一视角为理解代数基本定理提供了独特的拓扑意义，展现了数学的丰富多样性。

文字：周恒丰 易亿浩 罗潇涵

排版：周恒丰

后期：麦庭轩 程于轩

图源：B 站 up 主泰勒猫爱丽丝

指导老师：苏洪雨